2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость

Определение. Прямую в пространстве определим как совокупность точек, общих для двух пересекающихся плоскостей.

(2.1)

где , нормальные векторы этих плоскостей, причем непараллельно . Уравнение (2.1) называется общими уравнениями прямой в пространстве. Заметим, что направляющий вектор прямой определяется по формуле

В зависимости от способа задания существует несколько видов уравнений прямой в пространстве (см. таблицу)

Таблица 2.

Способ задания прямой в пространстве и заданные параметры	Вид уравнения прямой в пространстве и его название
1. Прямая задана точкой и направляющим вектором	Параметрические уравнения прямой , где t - параметр (2.2)
	Канонические уравнения прямой (2.3)
2. Прямая задана двумя точками и	Уравнения прямой, проходящей через 2-е точки (2.4)

Основные задачи

1. Угол между прямыми и можно рассматривать, как угол между их направляющими векторами и

(2.5)

Условие параллельности 2-х прямых: .

Условие перпендикулярности 2-х прямых: .

2. Расстояние от т. до прямой, проходящей через т. в направлении вектора вычисляется по формуле:

(2.6)

3. Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и плоскости . Возможны три случая:

а) если то прямая пересекает плоскость. Координаты точки пересечения можно отыскать, подставив значение

(2.7)

в канонические уравнения прямой (2.2);

б) если , , то прямая принадлежит плоскости;

в) если , , то прямая параллельна плоскости (но не лежит в ней).

4. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

(2.8)

Задание 4

Составить каноническое уравнения прямых и найти координаты любых двух точек для каждой прямой

1) прямая задана точкой и направляющим вектором ;

2) прямая задана двумя точками и ;

3) прямая задана общими уравнениями

.

1 вариант. 1) , 2) , 3)	2 вариант. 1) , 2) , 3)
3 вариант. 1) , 2) , 3)	4 вариант. 1) , 2) , 3)
5 вариант. 1) , 2) , 3)	6 вариант. 1) , 2) , 3)
7 вариант. 1) , 2) , 3)	8 вариант. 1) , 2) , 3)
9 вариант. 1) , 2) , 3)	10 вариант. 1) , 2) , 3)
11 вариант. 1) , 2) , 3)	12 вариант. 1) , 2) , 3)
13 вариант. 1) , 2) , 3)	14 вариант. 1) , 2) , 3)
15 вариант. 1) , 2) , 3)	16 вариант. 1) , 2) , 3)
17 вариант. 1) , 2) , 3)	18 вариант. 1) , 2) , 3)
19 вариант. 1) , 2) , 3)	20 вариант. 1) , 2) , 3)
21 вариант. 1) , 2) , 3)	22 вариант. 1) , 2) , 3)
23 вариант. 1) , 2) , 3)	24 вариант. 1) , 2) , 3)
25 вариант. 1) , 2) , 3)	26 вариант. 1) , 2) , 3)
27 вариант. 1) , 2) , 3)	28 вариант. 1) , 2) , 3)
29 вариант. 1) , 2) , 3)	30 вариант. 1) , 2) , 3)