- •СамарсКий государственНый университет путей сообщения
- •Содержание
- •Аналитическая геометрия
- •I. Прямые и плоскости
- •1. Плоскость
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •3. Прямая на плоскости
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Дополнительные задания
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •6 Вариант
- •7 Вариант
- •8 Вариант
- •9 Вариант
- •10 Вариант
- •11 Вариант
- •12 Вариант
- •13 Вариант
- •14 Вариант
- •15 Вариант
- •16 Вариант
- •17 Вариант
- •18 Вариант
- •19 Вариант
- •20 Вариант
- •21 Вариант
- •22 Вариант
- •23 Вариант
- •24 Вариант
- •25 Вариант
- •26 Вариант
- •II Линии и поверхности второго порядка
- •1. Окружность и сфера
- •2. Эллипс и эллипсоид
- •3. Гипербола и гиперболоиды
- •4. Парабола и параболоиды
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Задание 13
- •5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
- •6. Поверхности вращения
- •Задание 14
- •Задание 15
- •III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями
- •1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных координатах
- •Задание 16
- •Задание 17
- •Задание 18
- •2. Параметрические уравнения линии
- •Задание 19
Задание 2
Даны 4-е точки , , и . Составить уравнения:
-
плоскости ;
-
плоскости, проходящей через т. перпендикулярно вектору ;
-
плоскости, проходящей через т. и , параллельно вектору
Вычислить:
-
косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью
1 вариант. , , , .
2 вариант. (0, 5, 0), (2, 3, –4), (0, 0, –6), (–3, 1, –1).
3 вариант. (0, 0, 6), (4, 0, –4), (1, 3, –1), (4, –1, –3).
4 вариант. (2, –5, 3), (3, 2, –5), (5, –3, –2), (–5, 3, 2).
5 вариант. (6, 0, 4), (0, 6, 4), (4, 6, 0), (0, –6, 4).
6 вариант. (3, 2, 4), (2, 4, 3), (4, 3, –2), (–2, –4,–3).
7 вариант. (6, 3, 5), (5, –4, 3), (3, 5, 6), (–6, –1, 2).
8 вариант. (5, –2, –1), (4, 0, 0), (2, 5, 1), (1, 2, 5).
9 вариант. (4, 2, 5), (3, 0, 4), (0, 0, 3), (5, –2, –4).
10 вариант. (4, 2, –5), (3, 0, 4), (0, 2, 3), (5, –2, –4).
11 вариант. (4, 4, 10), (7, 10, 2), (2, 8, 4), (9, 6, 9).
12 вариант. (4, 6, 5), (6, 2, 4), (2, 4, 4), (1, 5, –3).
13 вариант. (3, 5, 4), (6, 5, 4), (5, 0, 4), (4, –2, 3).
14 вариант. (0, 6, 6), (–2, 6, 4), ,(6, 4, 1) (–2, 0, 3).
15 вариант. (1, 4, 2), (5, 2, 6), (5, –3, 4), (4, 0, 6).
16 вариант. (6, 6, 5), (4, 2, 5), (4, 6, 1), (6, –4, 3).
17 вариант. (4, 2, 2), (5, 1, 1), (5, 3, 1), (2, 3, 4).
18 вариант. (–1, 6, 4), (1, 5, 5), (5, 6, 0), (3, 3, 6).
19 вариант. (2, 1, 3), (6, 5, –1), (3, 5, 2), (0, 4, 1).
20 вариант. (–2, 1, 2), (4, 0, 0), (3, 2, 6), (1, 3, 2).
21 вариант. (3, 2, 4), (1, 3, 2), (–2, 1, 2), (4, 0, 0).
22 вариант. (1, 3, 2), (3, 2, 0), (4, 0, 0), (–2, 1, 2).
23 вариант. (3, 1, –2), (1, –2, 1), (2, 2, 5), (–2, 1, 0).
24 вариант. (–2, 1, 0), (2, 2, 5), (3, 1, 2), (1, –2, 1).
25 вариант. (2, 2, 5), (–2, 1, 0), (1, –2, 1), (3, 1, 2).
26 вариант. (1, –1, 6), (4, 5, –2), (–1, 3, 0), (1, –1, 5).
27 вариант. (6, 1, 5), (–1, 3, 0), (4, 5, –2), (1, –1, 6).
28 вариант. (1, –2, 1), (3, 1, –2), (2, 2, 5), (–2, 1, 0).
29 вариант. (4, 0, 0), (–2, 1, 2), (1, 3, 2), (3, 2, 5).
30 вариант. (–5, 6, –1), (6, –5, 2), (6, 5, 1), (0, 0, 2).
Задание 3
Решить следующие задачи.
1 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости .
2 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка М1М2 перпендикулярно к этому отрезку, если , .
3 вариант. Найти расстояние от точки до плоскости .
4 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости Оху.
5 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку .
6 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , параллельно оси Оу.
7 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Ох.
8 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости .
9 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки, параллельно вектору .
10 вариант. Составить уравнение плоскости в "отрезках", если она проходит через точку и отсекает на оси Ох отрезок , а на оси Oz – отрезок .
11 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам и .
12 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно к плоскости .
13 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и .
14 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки, параллельно вектору .
15 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к вектору, если , .
16 вариант. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости .
17 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку , если , .
18 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к отрезку , если , .
19 вариант. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно координатной плоскости Oxz.
20 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку .
21 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Oz.
22 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси Oу.
23 вариант. Найти проекцию точки на плоскость .
24 вариант. Определить, при каком значении В плоскости и будут перпендикулярны.
25 вариант. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
26 вариант. При каких значениях А и В плоскость параллельна плоскости .
27 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , перпендикулярно к плоскости .
28 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и .
29 вариант. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору .
30 вариант. Определить, при каком значении С плоскости и будут перпендикулярны.
Решение типового варианта
Задание 1.
Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:
-
точкой и нормальным вектором ;
2) отрезками , , , отсекаемыми данной плоскостью на осях координат и соответственно;
3) тремя точками , , ;
4) двумя точками , и и направляющим (параллельным) вектором ;
-
найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);
-
найти расстояние от точки до плоскости из п. 3).
Решение:
1) по формуле (1.2) получаем
- общее уравнение плоскости 1.
Для построения плоскости рекомендуется перейти к уравнению плоскости «в отрезках» (1.3)
; ; - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат , и соответственно. Соединив концы этих отрезков получаем часть искомой плоскости.
2) составляем уравнение плоскости «в отрезках» (1.3) и сразу строим полученную плоскость
Для получения общего уравнения умножим уравнение «в отрезках» на 6 (н.о.к. знаменателей)
- общее уравнение плоскости 2.
3) составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (1.4)
;
Разложим последний определитель по элементам 1-ой строки:
Итак - общее уравнение плоскости 3.
Переходим к уравнению «в отрезках» и строим плоскость
4) составим уравнение плоскости через 2-е точки и направляющий вектор (1.5):
.
Произведя действия, аналогичные приведенным в п. 3 получаем - общее уравнение плоскости 4 и
уравнение «в отрезках»
Т.к. в последнем уравнении , получаем частный случай расположения плоскости – параллельно оси .
5) Угол между плоскостями 1 и 2:
и находим как угол между их нормальными векторами и по формуле (1.6)
;
,
6) расстояние от точки до плоскости 3) найдем по формуле (1.7)
(ед.)
Задание 2.
Даны 4-е точки , , и . Составить уравнения:
-
плоскости ;
-
плоскости, проходящей через т. перпендикулярно вектору ;
-
плоскости, проходящей через т. и , параллельно вектору
Вычислить:
-
косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью
Решение:
1) Уравнение плоскости составим по формуле (1.4)
- общее уравнение плоскости .
2) Уравнение плоскости, проходящий через т. перпендикулярно вектору составим по формуле (1.2). В данном случае
- общее уравнение плоскости.
3) Уравнение плоскости, проходящий через точки и , параллельно вектору составим по формуле (1.5). В данном случае
- общее уравнение плоскости.
4) Вычислим косинус угла между координатной плоскостью (уравнение имеет вид ) и плоскостью по формуле (1.6):
.
Задание 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через т. перпендикулярно к двум плоскостям и .
Решение. Из уравнений плоскости найдем координаты их нормалей: и . Перемножив их векторно найдем координаты вектора , перпендикулярного для нормалей и , т.е. параллельно для двух данных плоскостей
.
Вектор является нормальным для искомой плоскости. Пользуемся формулой (1.2).
- общее уравнение плоскости.