- •СамарсКий государственНый университет путей сообщения
- •Содержание
- •Аналитическая геометрия
- •I. Прямые и плоскости
- •1. Плоскость
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •3. Прямая на плоскости
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Дополнительные задания
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •6 Вариант
- •7 Вариант
- •8 Вариант
- •9 Вариант
- •10 Вариант
- •11 Вариант
- •12 Вариант
- •13 Вариант
- •14 Вариант
- •15 Вариант
- •16 Вариант
- •17 Вариант
- •18 Вариант
- •19 Вариант
- •20 Вариант
- •21 Вариант
- •22 Вариант
- •23 Вариант
- •24 Вариант
- •25 Вариант
- •26 Вариант
- •II Линии и поверхности второго порядка
- •1. Окружность и сфера
- •2. Эллипс и эллипсоид
- •3. Гипербола и гиперболоиды
- •4. Парабола и параболоиды
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Задание 13
- •5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
- •6. Поверхности вращения
- •Задание 14
- •Задание 15
- •III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями
- •1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных координатах
- •Задание 16
- •Задание 17
- •Задание 18
- •2. Параметрические уравнения линии
- •Задание 19
1. Окружность и сфера
Определение. Совокупность точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности), называется окружностью.
Окружность с центром в т. и радиусом задается уравнением (каноническим)
. (1.3)
Окружность с центром в т. и радиусом (на рисунке) задается уравнением
. (1.4)
В пространстве окружности соответствует сфера. Каноническое уравнение сферы:
. (1.5)
Если же центр сферы находится в т. то уравнение ее имеет вид:
(1.6)
2. Эллипс и эллипсоид
Определении. Эллипсом называется совокупность точек М плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная, т.е. .
Здесь т. - фокусы эллипса; - большая полуось, - малая полуось; - фокусное расстояние; прямые и - директрисы эллипса.
Канонические уравнение эллипса с центром в т. и полуосями и имеет вид:
. (2.1)
Фокусное расстояние можно определить из соотношения:
;
эксцентриситет эллипса ;
уравнения директрис .
В случае, если , то фокусное расстояние определяется по формуле ; эксцентриситет ; уравнение директрис .
Если центр эллипса находится в т. , то его уравнение имеет вид:
(2.2)
В пространстве эллипсу соответствует эллипсоид. Его каноническое уравнение (центр в т. и полуоси а, b, с), имеет вид:
(2.3)
Если же центр эллипсоида находится в т. , то уравнение (2.3) преобразуется:
(2.4)
3. Гипербола и гиперболоиды
Определение. Гиперболой называется совокупность точек М плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная, т.е. .
Здесь - фокусы гиперболы, - действительная полуось, - мнимая полуось, - фокусное расстояние, и - директрисы гиперболы, и - асимптоты гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы с центром в т. и полуосями: действительной и мнимой имеет вид:
(3.1)
Для гиперболы ;
эксцентриситет эллипса ;
уравнения директрис ;
уравнение асимптот .
Гипербола, уравнение которой имеет вид
(3.2)
называется сопряженной с гиперболой (3.1) и имеет вид:
Здесь - мнимая полуось, -действительная полуось;
эксцентриситет эллипса ;
уравнения директрис .
Если центр гиперболы смещен в т. , то уравнение (3.1) и (3.2) принимают вид:
(3.3)
(3.4)
В пространстве гиперболе соответствуют гиперболоиды: однополостный и двухполостный.
Однополостный гиперболоид описывается уравнением
(3.5)
и имеет вид
двухполостный гиперболоид описывается уравнением
(3.6)
4. Парабола и параболоиды
Определение. Параболой называется совокупность точек М плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки (фокуса параболы) и данной прямой (директрисы параболы) т.е. .
Здесь F – фокус параболы, расстояние от директрисы до фокуса - параметр параболы. Каноническое уравнение параболы с вершиной в т. , параметром р и ветвями, направленными вправо имеет вид
(4.1)
Уравнения , , определяют параболы, иначе ориентированные относительно осей координат.
Если вершина параболы находится в т. , то ее уравнение выглядит одним из следующих образов
,
(4.2)
В пространстве параболе соответствуют параболоиды: эллиптический и гиперболический.
Эллиптический параболоид описывается уравнением
(4.3)
и имеет вид
Гиперболический параболоид описывается уравнением
(4.4)
и имеет вид.