Задание 5
Даны
точки
,
,
и
.
Составить уравнения:
1)
прямой
;
2)
прямой
,
параллельной прямой
;
3)
прямой
,
перпендикулярной плоскости
;
4)
вычислить косинус угла между прямыми
и
;
5)
вычислить синус угла между прямой
и плоскостью
.
Найти координаты точки пересечения
этой прямой и плоскости;
6)
найти расстояние от т.
до прямой
.
1
вариант.
,
,
,
.
2
вариант.
,
,
,
.
3
вариант.
,
,
,
.
4
вариант.
,
,
,
.
5
вариант.
,
,
,
.
6
вариант.
,
,
,
.
7
вариант.
,
,
,
.
8
вариант.
,
,
,
.
9
вариант.
,
,
,
.
10
вариант.
,
,
,
.
11
вариант.
,
,
,
.
12
вариант.
,
,
,
.
13
вариант.
,
,
,
.
14
вариант.
,
,
,
.
15
вариант.
,
,
,
.
16
вариант.
,
,
,
.
17
вариант.
,
,
,
.
18
вариант.
,
,
,
.
19
вариант.
,
,
,
.
20
вариант.
,
,
,
.
21
вариант.
,
,
,
.
22
вариант.
,
,
,
.
23
вариант.
,
,
,
.
24
вариант.
,
,
,
.
25
вариант.
,
,
,
.
26
вариант.
,
,
,
.
27
вариант.
,
,
,
.
28
вариант.
,
,
,
.
29
вариант.
,
,
,
.
30
вариант.
,
,
,
.
Задание 6
Решить следующие задачи.
1
вариант.
Доказать параллельность прямых
и
,
.
2
вариант.
Доказать, что прямая
параллельна плоскости
,
а прямая
лежит в этой плоскости.
3
вариант. Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку
и
образующей с осями координат углы,
соответственно равные
и
.
4
вариант.
Доказать, что прямая
перпендикулярна
к прямой
.
5
вариант.
Составить параметрические уравнения
медианы треугольника с вершинами
,
,
проведенной из вершины С.
6
вариант. При
каком значении п
прямая
- параллельна прямой
.
7
вариант.
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.
8
вариант. Найти
проекцию точки
на
плоскость
.
9
вариант. При
каком значении С
плоскости
и
перпендикулярны?
10
вариант. При
каком значении А
плоскость
параллельна прямой
.
11
вариант. При
каких значениях m
и С прямая
перпендикулярна к плоскости
?
12
вариант.
Составить уравнение прямой, проходящей
через начало координат параллельно
прямой
,
,
13
вариант. Проверить,
лежат ли на одной прямой точки
,
и
.
14
вариант.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
параллельно
прямой
,
.
15
вариант.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно к прямым
и
.
16
вариант. При
каких значениях А
и В плоскость
перпендикулярна к прямой
?
17
вариант.
Показать, что прямая
параллельна плоскости
,
а прямая
,
,
лежит в этой плоскости.
18
вариант.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через ось
Oz
и точку
.
19
вариант.
Показать, что прямые
и
,
перпендикулярны.
20
вариант. При
каком значении D
прямая
,
пересекает ось Oz?
21 вариант. При каком значении р прямые
и
параллельны?
22
вариант.
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
.
23
вариант.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно плоскости Oxz.
24
вариант.
Составить общие, уравнения прямой,
образованной пересечением плоскости
с плоскостью, проходящей через ось Оу
и точку
.
25
вариант. При
каких значениях В
и D
прямая
,
лежит в плоскости Оху?
26
вариант.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно двум векторам
и
.
27
вариант.
Составить уравнения прямой, проходящей
через точку
параллельно оси Ох.
28
вариант. Составить
уравнения прямой, проходящей через
точку
перпендикулярно к прямой
.
29
вариант.
Составить
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно к прямым
и
,
,
.
30
вариант.
Найти точку,
симметричную точке
относительно
прямой
.
Решение типового варианта
Задание 4
Составить каноническое уравнения прямых и найти координаты любых двух точек для каждой прямой
1)
прямая задана точкой
и направляющим вектором
;
2)
прямая задана двумя точками
и
;
3) прямая задана общими уравнениями
.
Решение:
1) Составим каноническое уравнение прямой в пространстве по формуле (2.3):
.
Для определения координат точек, принадлежащих этой прямой, запишем ее параметрические уравнения (2.2):
Придавая
t
произвольные значения можно определить
любое количество таких точек. Пусть
,
получаем т.
;
пусть теперь
,
получаем вторую точку данной прямой
.
2) Составим уравнение прямой в пространстве через две точки (2.4):
или
.
Заметим, что последнее выражение
следует рассматривать как уравнение
или
.
Получаем частный случай расположения
прямой в пространстве – данная прямая
параллельна координатной плоскости
Оxy
(лежит в плоскости
и описывается следующим уравнением
;
или
.
Запишем параметрические уравнения этой прямой:
при
получаем т.
,
при
получаем т.
.
3)
Находим направляющий вектор
прямой, заданной общими уравнениями
,
где
,
.
,
т.е.
Найдем
теперь координаты любой точки этой
прямой. Т.к. уравнений в системе два, а
переменных три, одну из них задаем
произвольно, например
,
получаем
.
Составим канонические уравнения:
при
получаем т.
,
при
получаем т.
.
Задание 5
Даны
точки
,
,
и
.
Составить уравнения:
1)
прямой
;
2)
прямой
,
параллельной прямой
;
3)
прямой
,
перпендикулярной плоскости
;
4)
вычислить косинус угла между прямыми
и
;
5)
вычислить синус угла между прямой
и плоскостью
.
Найти координаты точки пересечения
этой прямой и плоскости;
6)
найти расстояние от т.
до прямой
.
Решение:
1)
уравнение прямой
составим по формуле (2.4)
.
2)
уравнение прямой
,
параллельной прямой
составим по формулам (2.2) и (2.3), учитывая
что ее направляющий вектор
:
канонические:
,
параметрические:
3)
составим сначала уравнение плоскости
по формуле (1.4):
или
Нормальный
вектор этой плоскости
является направляющим
для прямой
,
ее канонические уравнения составим по
формуле (2.3):
.
4)
косинус угла между прямыми
:
и
:
вычислим как косинус угла между их
направляющими векторами
и
по формуле (2.5):
.
5)
Угол между прямой
:
и плоскостью
:
вычислим через угол между векторами
и
по формуле (2.8):
.
Для
вычисления координат точки пересечения
прямой
и плоскости
воспользуемся формулой (2.7):
В
параметрические уравнения прямой
подставляем
,
получаем координаты точки пересечения
,
что и так понятно из задания.
6)
расстояние от т.
до прямой
:
найдем по формуле (2.6):
,
,
,
,
,
,
ед.
Задание
6. Найти
координаты точки
симметричной точке
относительно плоскости
Решение:
Запишем
параметрические уравнения прямой
,
перпендикулярной данной плоскости,
т.е. вектор, нормальный для плоскости
является направляющим для прямой
:
Подставляя
их в уравнение плоскости, находим
:
,
откуда
и, следовательно, точка М
пересечения прямой
с данной плоскостью
.
Т.к. т. М
является серединой отрезка
,
то верны равенства:
;
;
,
из которых находим координаты точки
:
;
;
.