- •СамарсКий государственНый университет путей сообщения
- •Содержание
- •Аналитическая геометрия
- •I. Прямые и плоскости
- •1. Плоскость
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •3. Прямая на плоскости
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Дополнительные задания
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •6 Вариант
- •7 Вариант
- •8 Вариант
- •9 Вариант
- •10 Вариант
- •11 Вариант
- •12 Вариант
- •13 Вариант
- •14 Вариант
- •15 Вариант
- •16 Вариант
- •17 Вариант
- •18 Вариант
- •19 Вариант
- •20 Вариант
- •21 Вариант
- •22 Вариант
- •23 Вариант
- •24 Вариант
- •25 Вариант
- •26 Вариант
- •II Линии и поверхности второго порядка
- •1. Окружность и сфера
- •2. Эллипс и эллипсоид
- •3. Гипербола и гиперболоиды
- •4. Парабола и параболоиды
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Задание 13
- •5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
- •6. Поверхности вращения
- •Задание 14
- •Задание 15
- •III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями
- •1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных координатах
- •Задание 16
- •Задание 17
- •Задание 18
- •2. Параметрические уравнения линии
- •Задание 19
3. Прямая на плоскости
Определение. Совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
(3.1)
называется прямой на плоскости.
где А, В, С R, причем
Уравнение (3.1) называется общим уравнением прямой, коэффициенты А, В являются координатами вектора , перпендикулярного к данной прямой.
В зависимости от способа задания прямой на плоскости существует несколько видов ее уравнений (см. таблицу)
Таблица 3.
Способ задания прямой и заданные параметры |
Вид уравнения прямой и его название |
1. Прямая задана точкой и нормалью |
(3.2) |
2. Прямая задана угловым коэффициентом () и отрезком «», отсекаемым ей на оси Оy
|
Уравнение прямой с угловым коэффициентом (3.3)
|
3. Прямая задана точкой и угловым коэффициентом |
(3.4)
|
4. Прямая задана точкой и направляющим вектором |
а) Каноническим уравнением прямой на плоскости (3.5) б) Параметрические уравнения прямой на плоскости - параметр (3.6) |
5. Прямая задана 2-мя точками и |
(3.7) |
6. Прямая задана отрезками и , отсекаемыми ей на осях координат Ох и Оy соответственно |
Уравнение прямой «в отрезках» (3.8) |
Замечание! Уравнение (3.2) – (3.8) приводятся к виду (3.1)
Основные задачи.
1. Угол между прямыми на плоскости
а) прямые заданы общими уравнениями
и , тогда
(3.9)
условие параллельности прямых:;
Условие перпендикулярности: .
б) прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами и
(3.10)
Условие параллельности прямых:;
условие перпендикулярности:
2. Расстояние d от точки до прямой вычисляется по формуле:
(3.11)
Задание 7
Написать общее уравнение и построить прямые, проходящие через т. параллельно:
-
оси Ох;
-
оси Оy;
-
биссектрисе первого координатного угла;
-
биссектрисе второго координатного угла;
-
прямой
№ вар. |
А |
В |
С |
№ вар. |
А |
В |
С |
||
1 |
(2; –1) |
2 |
–3 |
1 |
2 |
(3; –2) |
4 |
2 |
–1 |
3 |
(–1;5) |
–2 |
1 |
3 |
4 |
(–2, 5) |
3 |
–1 |
1 |
5 |
(4, 9) |
–5 |
–3 |
1 |
6 |
(–3, 1) |
1 |
1 |
1 |
7 |
(4, 5) |
–1 |
–6 |
3 |
8 |
(4, –1) |
2 |
–1 |
–3 |
9 |
(4, –5) |
4 |
–5 |
0 |
10 |
(–5, 3) |
1 |
1 |
1 |
11 |
(4, 4) |
–1 |
1 |
1 |
12 |
(0, –6) |
2 |
1 |
–3 |
13 |
(4, 6) |
2 |
1 |
3 |
14 |
(–2, –3) |
1 |
1 |
1 |
15 |
(3, 5) |
3 |
–4 |
3 |
16 |
(–6, 2) |
3 |
–1 |
0 |
17 |
(10, 6) |
1 |
1 |
2 |
18 |
(1, 5) |
2 |
–1 |
1 |
19 |
(1, 8) |
–3 |
–5 |
3 |
20 |
(5, –2) |
4 |
3 |
–9 |
21 |
(6, 5) |
3 |
–5 |
1 |
22 |
(5, –2) |
3 |
2 |
1 |
23 |
(7, 2) |
3 |
1 |
2 |
24 |
(9, 6) |
1 |
–2 |
3 |
25 |
(8, 4) |
3 |
–4 |
3 |
26 |
(7, 5) |
4 |
–3 |
2 |
27 |
(2, 3) |
5 |
–3 |
5 |
28 |
(4, 7) |
1 |
1 |
2 |
29 |
(4, 0) |
–1 |
2 |
4 |
30 |
(7, 3) |
2 |
–1 |
–1 |