- •СамарсКий государственНый университет путей сообщения
- •Содержание
- •Аналитическая геометрия
- •I. Прямые и плоскости
- •1. Плоскость
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •3. Прямая на плоскости
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Дополнительные задания
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •6 Вариант
- •7 Вариант
- •8 Вариант
- •9 Вариант
- •10 Вариант
- •11 Вариант
- •12 Вариант
- •13 Вариант
- •14 Вариант
- •15 Вариант
- •16 Вариант
- •17 Вариант
- •18 Вариант
- •19 Вариант
- •20 Вариант
- •21 Вариант
- •22 Вариант
- •23 Вариант
- •24 Вариант
- •25 Вариант
- •26 Вариант
- •II Линии и поверхности второго порядка
- •1. Окружность и сфера
- •2. Эллипс и эллипсоид
- •3. Гипербола и гиперболоиды
- •4. Парабола и параболоиды
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Задание 13
- •5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
- •6. Поверхности вращения
- •Задание 14
- •Задание 15
- •III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями
- •1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных координатах
- •Задание 16
- •Задание 17
- •Задание 18
- •2. Параметрические уравнения линии
- •Задание 19
Задание 18
Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от до с шагом, равным; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.
1. . |
2. . |
3. . |
4. . |
5. . |
6. . |
7. . |
8. . |
9. . |
10. . |
11. . |
12. . |
13. . |
14. . |
15. . |
16. . |
17. . |
18. . |
19. . |
20. . |
21. . |
22. . |
23. . |
24. . |
25. . |
26. |
27. . |
28. |
29. . |
30. . |
Решение типового варианта
Задание 16. построить точки, заданные полярными координатами и найти их декартовые координаты.
, , ,
Решение.
Вначале проводим луч под углом к полярной оси , затем на этом луче откладываем от полюса отрезок длинной . В итоге находим все точки , , , . В соответствии с формулами (1.1) имеем:
; , .
Аналогично находим ; ; .
Задание 17. Построить точки, заданные декартовыми координатами и найти их полярные координаты.
; ;
Решение.
Согласно формулам (1.2) и рисунку получаем:
для т. ;
, согласно рисунку , т.е. ;
для т. ;
, по рисунку видно, что , т.е. ;
для т. ;
; из рисунка видно , т.е. .
Задание 18.
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется построить линию по точкам от = 0 до = 2 с шагом / 8. Найти уравнение данной линии в декартовой системе координат и назвать линию.
Решение. Составим табл. 5 для вычисления значений r.
Таблица 5
|
0 |
/ 8 |
/ 4 |
3 / 8 |
/ 2 |
5 / 8 |
3 / 4 |
7 / 8 |
|
… |
r |
1,5 |
1,52 |
1,58 |
1,67 |
1,8 |
1,95 |
2,096 |
2,21 |
2,25 |
|
Построим линию, учитывая, что (рис. 6.7).
Для перехода в декартовую систему координат воспользуемся формулами
, .
Получим уравнение
,
которое после преобразований примет вид
,
.
Получили уравнение эллипса с центром в точке О(–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3.
2. Параметрические уравнения линии
Определение. Уравнение вида
(2.1)
где , , , - искомые функции параметра , называется параметрическими уравнениями линии в пространстве. В частном случае, когда ( или ), получаем параметрические уравнения линии на плоскости ( или ).