Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи средствами алгебры с помощью метода координат, введенного Декартом в XVII в. Согласно этому методу на плоскости или в пространстве фиксируется система координат, в которой точке соответствует упорядоченный набор чисел (ее координаты), линиям и поверхностям – уравнения или системы уравнений. Таким образом изучение геометрических свойств линий и поверхностей сводится к исследованию аналитических свойств соответствующих им уравнений.

Вместе с методом координат в аналитической геометрии используются методы векторной алгебры.

I. Прямые и плоскости

1. Плоскость

Определение. Совокупность точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению

(1.1)

называется плоскостью.

Здесь - заданные числа, причем . Уравнение (1.1) называется общим уравнением плоскости, коэффициенты являются координатами вектора , перпендикулярного к заданной плоскости. Вектор называется нормальным вектором (нормалью).

В зависимости от способа задания плоскости, существует несколько видов ее уравнений (см. таблицу).

Таблица 1.

Способ задания плоскости и заданные параметры	Вид уравнения плоскости и его название
1. Плоскость задана точкой и нормальным вектором	Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору (1.2)
2. Плоскость задана отрезками и , отсекаемыми ей на осях координат и соответственно	Уравнение плоскости «в отрезках» (1.3)
3. Плоскость задана тремя точками , и	Уравнение плоскости по трем точкам (1.4)
4. Плоскость задана двумя точками и и направляющим (параллельным ей) вектором	Уравнение плоскости по двум точкам и направляющему вектору (1.5)

Замечание ! Уравнения (1.2) – (1.5.) приводятся к виду (1.1)

Задачи на плоскости:

1. Угол между плоскостями и вычисляется, как угол между их нормалями и по известной из векторной алгебры формуле

(1.6)

Условие параллельности 2-х плоскостей: .

Условие перпендикулярности 2-х плоскостей .

2. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

(1.7)

Задание 1

Написать общее уравнение и построить плоскости заданные следующим образом:

1. точкой и нормальным вектором ;

2. отрезками и , отсекаемыми данной плоскостью на осях координат и соответственно;

3. тремя точками , и ;

4. двумя точками и и направляющим (параллельным) вектором ;

5. найти косинус угла между плоскостями из п.1) и 2);

6. найти расстояние от точки до плоскости из п. 3).

1 вариант. 1) , ; 2) , , ; 3) , , ; 4) , ,	2 вариант. 1) , ; 2) , , ; 3) , , ; 4) , ,
3 вариант. 1) , ; 2) , , ; 3) , , ; 4) , ,	4 вариант. 1) , ; 2) , , ; 3) , , ; 4) , ,
5 вариант. 1) , ; 2) 2, 4, –1; 3) ,,; 4) , ,	6 вариант. 1) , ; 2) –3, 5, 1; 3) , , ; 4) , ,
7 вариант. 1) , ; 2) 4, –3, 1; 3) , , ; 4) , ,	8 вариант. 1) , ; 2) –5, 2, 4; 3) ,, ; 4) , ,
9 вариант. 1) , ; 2) 3, 4, –1; 3) ,,; 4) , ,	10 вариант. 1) , ; 2) 1, 4, –2; 3) , , ; 4) , ,
11 вариант. 1) , ; 2) 4, –3, 5; 3),,; 4) , ,	12 вариант. 1) , ; 2) 3, 1, –4; 3),,; 4) , ,
13 вариант. 1) , ; 2) 3, –2, 1; 3),, 4) , ,	14 вариант. 1) , ; 2) –2, –1, 4; 3) , , ; 4) , ,
15 вариант. 1) , ; 2) 4, –5, –3; 3) , , ; 4) , ,	16 вариант. 1) , ; 2) –5, 3, 1; 3),,; 4) , ,
17 вариант. 1) , ; 2) 4, 5, 1; 3) ,,; 4) , ,	18 вариант. 1) , ; 2) –2, 4, –3; 3) , , ; 4) , ,
19 вариант. 1) , ; 2) 2, –1, 5; 3) ,, ; 4) , ,	20 вариант. 1) , ; 2) –3, 5, 2; 3) , , ; 4) , ,
21 вариант. 1) , ; 2) –4, 4, 3; 3) , , ; 4) , ,	22 вариант. 1) , ; 2) 2, –4, 1; 3) ,, ; 4) , ,
23 вариант. 1) , ; 2) –1, 5, –3; 3) , , ; 4) , ,	24 вариант. 1) , ; 2) –2, 4, 1; 3) ,,; 4) , ,
25 вариант. 1) , ; 2) 4, 2, 1; 3) , , ; 4) , ,	26 вариант. 1) , ; 2) 3, 4, –3; 3) , , ; 4) , ,
27 вариант. 1) , ; 2) 5, –1, 2; 3) ,,; 4) , ,	28 вариант. 1) , ; 2) –2, 4, 1; 3) , , ; 4) , ,
29 вариант. 1) , ; 2) 2, 3, 4; 3) , , ; 4) , ,	30 вариант. 1) , ; 2) –4, 3, 1; 3) , , ; 4) , ,