- •СамарсКий государственНый университет путей сообщения
- •Содержание
- •Аналитическая геометрия
- •I. Прямые и плоскости
- •1. Плоскость
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •3. Прямая на плоскости
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Дополнительные задания
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •6 Вариант
- •7 Вариант
- •8 Вариант
- •9 Вариант
- •10 Вариант
- •11 Вариант
- •12 Вариант
- •13 Вариант
- •14 Вариант
- •15 Вариант
- •16 Вариант
- •17 Вариант
- •18 Вариант
- •19 Вариант
- •20 Вариант
- •21 Вариант
- •22 Вариант
- •23 Вариант
- •24 Вариант
- •25 Вариант
- •26 Вариант
- •II Линии и поверхности второго порядка
- •1. Окружность и сфера
- •2. Эллипс и эллипсоид
- •3. Гипербола и гиперболоиды
- •4. Парабола и параболоиды
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Задание 13
- •5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
- •6. Поверхности вращения
- •Задание 14
- •Задание 15
- •III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями
- •1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных координатах
- •Задание 16
- •Задание 17
- •Задание 18
- •2. Параметрические уравнения линии
- •Задание 19
Задание 13
Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка , определить тип линии и построить эту кривую (таблица 4).
Таблица 4
№ вар. |
Коэффициенты уравнений кривой |
№ вар |
Коэффициенты уравнений кривой |
||||||||
A |
C |
D |
E |
F |
A |
C |
D |
E |
F |
||
1 |
1 |
1 |
–6 |
10 |
–15 |
2 |
1 |
4 |
0 |
–1 |
–5 |
3 |
2 |
0 |
8 |
–1 |
12 |
4 |
9 |
4 |
–54 |
–32 |
109 |
5 |
4 |
–9 |
–8 |
–36 |
–68 |
6 |
4 |
9 |
–40 |
36 |
100 |
7 |
9 |
–26 |
–54 |
–64 |
–127 |
8 |
3 |
3 |
–24 |
12 |
58 |
9 |
5 |
1 |
10 |
–6 |
–6 |
10 |
1 |
–1 |
6 |
0 |
8 |
11 |
1 |
7 |
6 |
–28 |
–12 |
12 |
3 |
–8 |
–6 |
–24 |
–36 |
13 |
9 |
4 |
18 |
–8 |
–19 |
14 |
2 |
0 |
–4 |
–1 |
–4 |
15 |
9 |
–4 |
–36 |
–8 |
–4 |
16 |
4 |
4 |
–12 |
4 |
–3 |
17 |
9 |
5 |
18 |
–30 |
9 |
18 |
36 |
–4 |
–72 |
16 |
–88 |
19 |
–4 |
9 |
16 |
18 |
29 |
20 |
4 |
36 |
–16 |
72 |
–92 |
21 |
9 |
4 |
54 |
8 |
49 |
22 |
1 |
4 |
–2 |
56 |
181 |
23 |
7 |
–2 |
–42 |
–16 |
17 |
24 |
9 |
–4 |
0 |
24 |
–72 |
25 |
–1 |
4 |
–4 |
8 |
–4 |
26 |
1 |
1 |
6 |
–4 |
0 |
27 |
1 |
1 |
–4 |
6 |
0 |
28 |
1 |
4 |
4 |
–16 |
–8 |
27 |
9 |
–4 |
–36 |
–8 |
–4 |
30 |
25 |
9 |
–100 |
54 |
–44 |
Решение типового варианта
Задание 11.
Построить кривые и записать их уравнения.
1. Окружность а) с центром в т. и радиусом ;
б) с центром в т. и радиусом .
2. Эллипс а) с центром в т. и полуосями и ;
б) с центром в т. и полуосями и .
3. Гипербола а) с центром в т. и полуосями - действительной, -
мнимой и сопряженную с ней гиперболу;
б) с центром в т. и полуосями - действительной,
-
мнимой
4. Парабола а) с вершиной в т. , параметром , ветви которой
направлены
- вправо,
- влево,
- вверх,
- вниз;
б) с вершиной в т. и параметром , ветви направлены
вниз.
Решение.
1. Уравнение окружности с центром в т. и радиусом составим по формуле (1.3)
Уравнение окружности с центром в т. и радиусом составим по формуле (1.4)
2. Уравнение эллипса с центром в т. и полуосями и согласно формуле (2.1) имеет вид
.
Уравнение эллипса с центром в т. и полуосями и по формуле (2.2) имеет вид
.
3. Уравнение гиперболы с центром в т. и полуосями - действительной, - мнимой составим по формуле (3.1)
Сопряженная с ней гипербола описывается уравнением (3.2)
Уравнение гиперболы с центром в т. и полуосями и составим по формуле (3.3)
4. Уравнение параболы с вершиной в т. , параметром , ветви которой направлены вправо, согласно формуле (4.1) имеет вид
.
Уравнения подобных ей парабол с ветвями направленными влево, вверх и вниз
, , .
Уравнение параболы с вершиной в т. и параметром , ветви которой направлены вниз согласно одной из формул (4.2) имеет вид
Задание 12. Составить канонические уравнения
а) эллипса, зная что его большая полуось равна 5, а расстояние между фокусами равно 8;
б) гиперболы, проходящей через т. с эксцентриситетом ;
в) найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы .
Решение.
а) Т.к. расстояние между фокусами эллипса , то , по условию . Из формулы
получаем
Каноническое уравнение эллипса имеет вид (2.1)
.
б) Т.к. гипербола проходит через т. , то координаты этой точки удовлетворяют каноническому уравнению гиперболы (3.1), т.е.
. (*)
По условию , тогда , учитывая, что для гиперболы , получаем . Подставим последнее равенство в (*).
.
Окончательно получаем:
.
в) Из канонического уравнения параболы видим, что ; ; (ветви направлены влево). Тогда уравнение директрисы имеет вид: ,
фокус находится в т.
Задание 13.
Привести к каноническому виду уравнении кривой второго порядка, определить тип линии и построить эту кривую.
.
Решение.
Дополним члены, содержащие и до полных квадратов:
,
, .
Т.е. имеем гиперболу с центром в т. , действительная полуось , мнимая .