- •СамарсКий государственНый университет путей сообщения
- •Содержание
- •Аналитическая геометрия
- •I. Прямые и плоскости
- •1. Плоскость
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •2. Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •3. Прямая на плоскости
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Дополнительные задания
- •1 Вариант
- •2 Вариант
- •3 Вариант
- •4 Вариант
- •5 Вариант
- •6 Вариант
- •7 Вариант
- •8 Вариант
- •9 Вариант
- •10 Вариант
- •11 Вариант
- •12 Вариант
- •13 Вариант
- •14 Вариант
- •15 Вариант
- •16 Вариант
- •17 Вариант
- •18 Вариант
- •19 Вариант
- •20 Вариант
- •21 Вариант
- •22 Вариант
- •23 Вариант
- •24 Вариант
- •25 Вариант
- •26 Вариант
- •II Линии и поверхности второго порядка
- •1. Окружность и сфера
- •2. Эллипс и эллипсоид
- •3. Гипербола и гиперболоиды
- •4. Парабола и параболоиды
- •Задание 11
- •Задание 12
- •Задание 13
- •5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
- •6. Поверхности вращения
- •Задание 14
- •Задание 15
- •III. Линии, заданные уравнениями в полярных координатах и параметрическими уравнениями
- •1. Полярные координаты точки и уравнение линии в полярных координатах
- •Задание 16
- •Задание 17
- •Задание 18
- •2. Параметрические уравнения линии
- •Задание 19
5. Цилиндры второго порядка. Конус второго порядка
Рассмотрим на плоскости линию с уравнением . Через каждую точку этой линии проведем прямую, параллельно оси . Все эти прямые составят поверхность, называемую цилиндрической или цилиндром. Линия называется направляющей этого цилиндра, а каждая из прямых, параллельных оси - образующей.
Уравнение направляющей цилиндра, если рассматривать его в пространстве, является уравнением самого цилиндра. Цилиндр, направляющей которого служит кривая второго порядка, называется цилиндром второго порядка.
1. Эллиптический цилиндр
(5.1)
2. Гиперболический цилиндр
(5.2)
3. Параболический цилиндр
(5.3)
Замечание ! Если уравнение поверхности второго порядка имеет вид или , то это уравнение задает цилиндр с образующими, параллельными оси или соответственно.
Конус вращения.
(5.4)
получается при вращении прямой , расположенной в плоскости , вокруг оси . Точка пересечения прямых, составляющих конус (т. О) называется вершиной конуса. Линии, полученные при сечении конуса вращения различными плоскостями, называются коническими сечениями или коники, это и есть кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
6. Поверхности вращения
Определение. Поверхности, получаемые вращением некоторой плоской линии вокруг заданной оси координат, лежащей с этой линией в одной плоскости, называются поверхностями вращения.
Если линия лежит в плоскости и имеет уравнение , , то при вращении ее вокруг оси уравнение полученной поверхности вращения имеет вид:
(6.1)
Задание 14
Построить поверхности и определить их вид (название).
№ вар. |
а) |
б) |
1 |
||
2 |
||
3 |
||
4 |
||
5 |
||
6 |
||
7 |
||
8 |
||
9 |
||
10 |
||
11 |
||
12 |
||
13 |
||
14 |
||
15 |
||
16 |
||
17 |
||
18 |
||
19 |
||
20 |
||
21 |
||
22 |
||
23 |
||
24 |
||
25 |
||
26 |
||
27 |
||
28 |
||
29 |
||
30 |