21. Формула Лапласа

С тремление поверхности жидкости к сокращению приводит к тому, что давление под выпуклой поверхностью жидкости оказывается больше, а под вогнутой меньше, чем под плоской (рис. 54). Силы дополнительного давление р направлено к центру кривизны поверхности.

Вычислим это добавочное давление р для пузырька газа, находящегося в жидкости (рис. 55). Пусть под действием давления р объем шара уменьшился на dV, а поверхность уменьшилась на dS.

Объем шара равен

Площадь поверхности равна S = 4R²  dS = 8R dR.

Работа сжатия внешних сил

отрицательна и равна

dA = – p dV = – p 4R² dR.

Другая формула для работы: dA = –  dS = –  8R dR.

Приравняем уравнения для работ и получим формулу Лапласа для сферической поверхности:

p 4R² dR =  8R dR 

В общем случае формула Лапласа имеет вид:

, (86)

где R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений. (Нормальным сечением поверхности в некоторой точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. Для сферы нормальные сечения – это окружности радиуса R.)

В формуле (86) радиус кривизны R считают положительным (рис. 54 б), если центр кривизны находится внутри жидкости (при несмачивании). Радиус кривизны считают отрицательным (рис. 54 в), если центр кривизны лежит над поверхностью (смачиваемость).

Ч астные случаи формулы Лапласа:

1. для сферы R₁ = R₂ = R и p = 2/R;

2. для плоскости R₁ = R₂ =  и р = 0;

3. для цилиндрической поверхности (рис. 56) – жидкость находится между двумя параллельными пластинками: R₁ = R, R₂ =  и p = /R;

4. мыльный пузырь имеет две сферические поверхности мыльной пленки, избыточное давление которых направлено к центру мыльного пузыря, поэтому p = 4/R.

И з формулы Лапласа следует, что, чем меньше радиус поверхности жидкости, тем больше избыточное давление. Это легко можно продемонстрировать на опыте с двумя мыльными пузырями, соединенными трубкой (рис. 57): маленький пузырь будет уменьшаться, а большой – увеличиваться.

Капиллярные явления

Можно взять такой узкий сосуд (трубка или узкая щель), что искривленной оказывается вся поверхность жидкости (плоской поверхности нет). Если расстояние между стенками сосуда сравнимо с радиусом кривизны поверхности жидкости, то такие сосуды называются капиллярами, а происходящие в них явления – капиллярными явлениями.

Используем формулу Лапласа для расчета высоты поднятия жидкости в цилиндрическом капилляре радиуса r (рис. 58). Пусть жидкость смачивает капилляр. Тогда жидкость образует вогнутый мениск.

Если   краевой угол жидкости, то из рис. 58 следует, что радиус кривизны мениска равен

.

Силы давления р направлено к центру кривизны, т.е. вверх, и жидкость поднимается до высоты h, на которой давление Лапласа уравновешивает гидростатическое давление:

, , . (87)

Для полного смачивания ( = 0, cos  = 1) получаем:

.

Если жидкость не смачивает капилляр (рис. 59), мениск будет выпуклый, центр кривизны находится внутри жидкости, силы давления Лапласа направлены вниз. Глубину опускания жидкости ("отрицательную высоту") находят по тем же формулам. Знак "минус" перед высотой h появляется автоматически, так как косинус тупого угла – отрицателен. Для полного несмачивания  = .

Если рассматривать рис. 58 как вид поверхности жидкости между двумя параллельными пластинками, то путем аналогичных рассуждений можно получить формулу для расчета высоты поднятия жидкости между ними: , где d – расстояние между пластинами.