6. Средняя длина свободного пробега

и число столкновениЙ

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при столкновении, называется эффективным диаметром молекулы d, а величина  = d²  эффективным сечением молекулы (рис. 13).

Средняя длина свободного пробега молекулы – это прямолинейный участок пути, проходимый молекулой между двумя последовательными соударениями.

Пусть имеется газ с концентрацией n и движется только одна молекула, а остальные неподвижны. За 1 с эта молекула пройдет путь, равный ее средней скорости υ, и столкнется со всеми молекулами, центры которых расположены в ломаном цилиндре длиной υ и площадью основания, равной эффективному сечению (рис. 14). Умножив объем цилиндра на концентрацию n, получим число столкновений: ' = d² υ n.

В действительности движется не одна, а все молекулы, поэтому в последнюю формулу должна входить не средняя скорость относительно стенок сосуда, а скорость относительно других молекул. Можно доказать, что υ_ОТН υ. Поэтому, среднее число столкновений за 1 с равно:

. (24)

Средняя длина свободного пробега  равна отношению длины пути, пройденного молекулой, к числу испытанных ею на этом пути столкновений: . (25)

Таким образом, длина свободного пробега молекул тем меньше, чем больше их концентрация и эффективное сечение.

Оценим порядок величин длины свободного пробега и числа соударений (т.е. необходимо найти d и n). Для нахождения d вспомним, что в жидкостях молекулы располагаются достаточно плотно друг к другу. Один моль воды (18 г) занимает объем 18 см³ = 18  10 ^6 м³. Разделив объем одного моля на число молекул в одном моле N_A, получим приблизительно объем одной молекулы и ее линейный размер:

Vмол30  1030 м3, м.

При испарении воды размер молекулы d не изменяется, но теперь один моль любого газа (и водяного пара) при нормальных условиях занимает объем 22,4 10^3 м³. Разделив число молекул в одном моле N_A на объем одного моля газа, получим концентрацию n:

n = 6 10²³ / 22,4 10 ^–3  3  10²⁵ м ^3.

Подставим найденные d и n в формулу (25):

 = 1 / (   9 10 ^–20  3 10²⁵)  10 ^7 м.

Пусть средняя скорость молекулы воды (пара) равна 600 м/с. Тогда из формулы (25) можно найти число столкновений:

6 10 ⁹ c^1.

Естественно возникает вопрос, можно ли считать идеальным газ, в котором молекулы каждую секунду сталкиваются миллиарды раз, т.е. "взаимодействуют". Однако длина свободного пробега в 100–1000 раз больше размеров молекулы. Другими словами, время столкновения молекул примерно в 100–1000 раз меньше времени между столкновениями. Следовательно, подавляющую часть времени молекулы движутся свободно.

Состояние газа в сосуде называется вакуумом, если длина свободного пробега сравнима с линейными размерами сосуда или превышает их. Газ в этом случае называют ультраразряженным. Различные степени вакуума (низкий, средний, высокий, сверхвысокий) создаются в разных технических устройствах (лампы накаливания, радиолампы, электронно-лучевые трубки телевизоров, системы вакуумного напыления металлов и т.п.).