§2. Активный нагруженный резерв

При изображении логических схем систем с активным резервом будем применять дополнительно условное изображение переключателя, под которым подразумевается устройство для замены основного элемента на резервный в случае отказа первого из них. В некоторых случаях считают, что такое устройство также подвержено отказам, и учитывают его надежность в общем расчете. В дальнейшем будем считать переключатели абсолютно безотказными, а время переключения пренебрежимо малым по сравнению со временем безотказной работы элементов. При этом «механизм» действий по переключению (вручную, автоматически и т.п.) можно вообще игнорировать.

В результате схема активного резервирования приобретает следующий вид

n

Рис.3.2.1

Элемент 1 является основным, а 2…. N – резервными.

Если, как это предполагает заголовок параграфа, резерв нагруженный, то его элементы находятся в тех же условиях, что и основной, и могут отказать еще до вступления в действие взамен основного. Такая ситуация логически эквивалентна уже изученному простому параллельному соединению элементов (см. рис. ), и к ней применимы расчетные формулы из §8 предыдущей главы.

Рассмотрим дополнительно случай, когда все элементы – основной и резервные – подчинены экспоненциальному закону надежности и имеют одинаковую интенсивность отказов λ. На основании формулы ( ) для функции надежности резервированной системы R_рез(t) получим

R_рез(t) = 1− (1−e^-λt)ⁿ. (3.2.1)

Теперь несложно вычислить интенсивность отказов резервированной системы λ_рез(t)

λ_рез(t) = = . (3.2.2)

Выясним характер поведения λ_рез(t) в предельных случаях, когда t = 0 и t→∞. Обнаруживается: λ_рез(0) = 0. Вспоминая вероятностный смысл интенсивности отказов (вероятность отказа на малом промежутке времени Δt при условии безотказной работы до начала этого промежутка, отнесенную к величине промежутка), можно сделать вывод, что для резервированной системы вероятность отказа на малом промежутке времени непосредственно после начала эксплуатации равна 0. Правильнее сказать, что эта вероятность есть величина не менее второго порядка малости относительно Δt, но и такая формулировка означает, что резервированная система практически не может отказать сразу после начала работы. Объяснение этому факту состоит в том, что отказ системы означал бы отказ основного и всех резервных элементов на малом интервале Δt сразу после начала работы, вероятность чего пропорциональна (Δt)ⁿ и пренебрежимо мала при достаточно малых Δt.

Это замечательное свойство характерно и для систем с резервами других типов. Оно также свидетельствует, что резервирование особенно эффективно для объектов кратковременного действия. Системы наведения ракет.

Конкретное суждение о том, какой промежуток Δt можно считать действительно малым, можно составить, только сравнивая его с характерными для данного объекта временными показателями. Удобство и наглядность сравнения обеспечивается использованием в качестве одного из таких показателей среднего времени безотказной работы элемента, которое в рассматриваемом случае равно 1/λ. Пусть, например, Δt составляет 0,01 от среднего времени безотказной работы, т.е. λΔt = 0,01. Значения вероятности безотказной работы на этом промежутке, рассчитанные по формуле ( ), приведены в таблице для различного числа резервных элементов в системе

n	1	2	3	4
Rрез(0,01/λ)	0,99	0,9999	0,999999	0,99999999

Вероятности отказа равны соответственно 0,01; 0,0001; 0,000001 и 0,00000001. Можно считать, что для такого промежутка полученные выводы действительно подтверждаются.

При t→∞ числитель и знаменатель в ( ) стремятся к 0: получается неопределенность типа 0/0. Раскроем ее по правилу Лопиталя

lim λ_рез(t) = lim

t→∞ t→∞

= lim = λ.

t→∞

Таким образом, с течением времени интенсивность отказов резервированной системы асимптотически приближается к интенсивности отказов одного элемента. Происходит это вследствие роста интенсивности отказов по мере потери работоспособности элементов до того момента, когда останется только один. После этого интенсивность отказов сохраняется постоянной вследствие принятого предположения об экспоненциальном законе надежности. Разумеется, сам момент заранее указан быть не может, и графики λ_рез(t) описываются плавными кривыми. Характер их поведения показан на рис.

Рис.3.2.2

По оси абсцисс отложено безразмерное произведение интенсивности отказов одного элемента на время. По оси ординат – безразмерное отношение интенсивности отказов резервированной системы к интенсивности отказов одного элемента. Сплошными линиями показаны графики при n = 1 (резерва нет) и при n =2,3 и 4 (в резерве 1,2 и 3 элемента).

При λt =3 все значения λ_рез/λ близки к 1. Это означает, что примерно после значения t = 3/λ (по истечении утроенного среднего времени безотказной работы одного элемента) резервированная система практически теряет свои свойства, становясь эквивалентной одному элементу. Конечно, при большем числе резервных элементов эффективность резервирования будет выше, но в качественном плане картина останется прежней.

Несколько более оптимистические результаты получаются при вычислении по формуле ( ) вероятности безотказной работы на интервале 1/λ (среднее время безотказной работы одного элемента); они отражены в таблице

n	1	2	3	4
Rрез(1/λ)	0.37	0.60	0.75	0.84

Тем не менее, вряд ли можно рекомендовать применять резервирование рассматриваемого типа, если ожидаемое время работы системы приближается к среднему времени безотказной работы одного элемента или, тем более, его превосходит.

Напомним, что эти результаты относятся к случаю невосстанавливаемых элементов. Если предусмотреть восстановление, результаты могут оказаться совсем другими.

На рис. проведена пунктиром еще одна кривая. О ней будет сказано позже в §3.

Подставив выражение ( ) для R_рез(t) в общую формулу ( ) можно найти и среднее время безотказной работы резервированной системы. Опуская выкладки, приведем конечный результат

T_орез = . ( 3.2.3)

Заметим в заключение, что в расчетном (но не в техническом) плане все сказанное в этом параграфе в полной мере относится и к случаю пассивного (постоянного) резервирования, когда все резервные элементы функционируют наряду с основным (и, как уже отмечалось, неотличимы от него). Такой случай тоже вписывается в логическую схему параллельного соединения. Правда, при этом следует уточнить, что элементы независимы, и отказы одних не влияют на характеристики надежности других. Иначе говоря, имеет место пассивное резервирование без перераспределения нагрузки. Этими словами можно было дополнить заголовок параграфа.