§4. Диагностирование на основе методов теории статистических
решений
Далеко не всегда соблюдаются условия, при которых строились диагностические таблицы. Достаточно часто бывает, что однозначного соответствия диагностических признаков состояниям объекта нет, т.е. тому или иному состоянию объекта (той или иной неисправности) может случайным образом соответствовать несколько значений какого-либо диагностического признака или непрерывное множество таких значений из некоторого промежутка. Иными словами, признак Z является дискретной или непрерывной случайной величиной, возможные значения которой доступны для измерения. Для определенности пусть это непрерывная случайная величина. Диагностирование базируется на том, что плотности распределения Z различны при разных состояниях объекта:
f(z/S0), f(z/S1), … , f(z/Sn).
По существу это условные плотности вероятностей при условиях, что имеет место то или иное состояние.
При этом не исключается, что одно и то же возможное значение z может встретиться при разных состояниях объекта. Это обстоятельство является источником ошибок диагностирования, которые, как правило, не могут быть полностью устранены, но вероятность которых может быть снижена до определенных пределов.
Такой подход отвечает общим принципам теории статистических решений, в которой под S0, S1, ... , Sn подразумеваются любые решения, а под Z – любой признак, на основе которого это решение принимается.
Поясним некоторые подробности процедуры принятия решений на частном случае всего двух состояний S1 , S2 и одного признака (параметра) Z. Правило выбора решения (решающее правило) состоит в назначении некоторого порогового значения zп параметра Z и далее:
если z < zп , то принимается S = S1,
если z > zп , то принимается S = S2.
Предполагается, что при S = S1 параметр Z принимает преимущественно малые, а при S = S2 – большие значения (иначе можно сделать наоборот).
При этом возможны ошибки двух родов:
1) принимается решение S = S1 в то время как S = S2 (ошибка первого рода),
2) принимается решение S = S2 в то время как S = S1 (ошибка второго рода).
В радиолокации – «пропуск цели» и «ложная тревога».
Пусть известны вероятности состояний P(S1) = p1 и P(S2) = p2. Построим графики двух зависимостей – p1 f(z/S1) и p2 f(z/S2) и назначим пороговое значение zп (рис.). Ошибки возможны, если параметр принимает какое-то значение из промежутка (z1, z2). По графикам можно определить вероятности σ1 и σ2 ошибок первого и второго рода (площади,обозначенные штриховкой и ).
z
Рис.
Вероятность σ ошибки вообще (любого рода) составит
σ = σ1 + σ2.
Нетрудно показать, что минимум σ достигается при zп = z0, которое и следует принять в качестве оптимального порогового значения.
Дальнейшее расширение моделей теории статистических решений может предполагать
1) введение «цены» ошибок первого рода С1 и второго рода С2 и отыскание оптимального порогового значения признака из условия минимума средней цены С
С = С1σ1 + С1 σ2.
2) распространение описанных правил на случай нескольких состояний и нескольких признаков,
3) принятие решений при неизвестных вероятностях состояний; возможны следующие подходы:
А) отыскивается пороговое значение, при котором вероятность ошибки одного рода минимальна, в то время как вероятность ошибки другого рода – задана (т.н. критерий Неймана-Пирсона),
Б) проводятся специальные наблюдения для определения неизвестных вероятностей, и после каждого из них принимается промежуточное решение: продолжить наблюдения или перейти к окончательному решению ( т.н. методы последовательного анализа Вальда)
4) др.