§5. Пассивное резервирование с дробной кратностью

Рассмотрим систему, содержащую n одинаковых элементов, для работоспособности которой достаточно, чтобы работоспособными оставались только m из них. Таким образом, система содержит постоянный (пассивный) резерв из (n − m) элементов. Отношение (n − m)/m числа резервных элементов к числу основных, определенное ранее как кратность резервирования, в общем случае представляет собой дробь.

Пусть функция надежности каждого элемента равна R(t). Найдем функцию надежности резервированной системы. Для этого достаточно некоторых несложных рассуждений, не требующих дополнительных предположений о виде функции надежности элемента. Обозначим для краткости R(t) = p и начнем перечисление исключающих друг друга (несовместных) случаев, при которых система сохраняет работоспособность в течение времени t.

1). Не отказал ни один из элементов системы; вероятность этого события равна

pⁿ .

2). Произошел отказ одного (любого из n) элементов, а остальные (n−1) сохранили работоспособность; вероятность этого события равна

n (1− p) pⁿ⁻¹.

3). Произошел отказ двух (любых из n) элементов, а остальные (n−2) сохранили работоспособность; вероятность этого события равна

(1− p)² pⁿ⁻².

Здесь − число различных сочетаний из n элементов по 2.

Все эти формулы базируются на правилах сложения и умножения вероятностей. Теперь несложно получить и обобщенную формулу для события, состоящего в отказе любых i элементов при безотказной работе остальных

(1− p)ⁱ pⁿ⁻ⁱ,

где число сочетаний из n по i дается известной формулой

= .

При i ≤ n−m такое событие по-прежнему будет означать безотказную работу системы.

Окончательная формула для вероятности безотказной работы резервированной системы как вероятности суммы рассмотренных несовместных событий при i= 0, 1, … , n−m имеет вид

R_рез(t) = . (3.5.1)

В случае экспоненциального закона с интенсивностью отказов каждого элемента λ имеет место следующая формула для среднего времени безотказной работа резервированной системы (без вывода)

T_орез = . (3.5.2)

При резервировании с дробной кратностью надежность резервированной системы может оказаться ниже, чем надежность одного элемента (в этом нет парадокса, поскольку в таких случаях для безотказной работы необходимо более одного элемента). При m = 1 формула ( ) переходит в ( ).

▲Пример. В системе пневмопривода имеется 4 вентилятора; для безотказной работы достаточно трех. Таким образом, n=4, m=3, и кратность резервирования равна 1/3. Вероятность безотказной работы одного вентилятора за 1000 час пусть равна 0,99, т.е. R(1000)= p = 0,99.

По формуле ( ) находим

R_рез(1000) = = p⁴ +4p(1− p)³ = 0,6561+0,2916 = 0,9477.

В отсутствие резервирования, т.е. при n = m = 3 вероятность безотказной работы составила бы p³ = 0,729.

Отметим также, что R_рез(1000) < R(1000).▲

В заключение заметим, что в расчетном плане материалы этого параграфа вполне применимы и к случаю скользящего нагруженного резерва (ранее рассматривался скользящий ненагруженный резерв).