Глава 3. Теория двойственности в линейном программировании и ее экономические приложения.

3.1. Определение двойственной задачи:

Двойственная задача- это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной или прямой задачи. Часто рассматриваются формулировки двойственной задачи (ДЗ), соответствующие различным формам записи исходной задачи (ИЗ). Поскольку использование симплексного и других методов решения ЗЛП требует приведения ЗЛП к каноническому виду, сформулируем определение ДЗ к ИЗ, записанной в каноническом виде.

Исходная задача

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Задачей, двойственной к ЗЛП (3.1)-(3.3), назовем следующую ЗЛП:

Двойственная задача

(3.4)

(3.5)

не ограничен в знаке, (3.6)

Двойственная ЗЛП строится по следующим правилам:

1. Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи, т.е. число переменных двойственной задачи равно числу ограничений исходной задачи.

2. Каждой переменной исходной задачи соответствует ограничение двойственной задачи, т.е. число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи.

3. Матрица функциональных ограничений двойственной задачи получается путём транспонирования матрицы функциональных ограничений исходной задачи.

4. Вектор целевой функции прямой задачи становится вектором правой части ограничений двойственной задачи, а вектор правой части прямой задачи – вектором целевой функции двойственной задачи.

5. Целевая функция исходной задачи максимизируется, целевая функция двойственной задачи минимизируется, а ограничения имеют вид больше либо равно.

Итак:

Исходная задача	Двойственная задача
max P = - множество планов ИЗ	Q = – не ограничен в знаке - множество планов ДЗ		(3.7)

Пример 3.1. Пусть исходная задача имеет вид:

min

(3.8)

Приведем ее к каноническому виду, т.е. будем максимизировать функцию .

(3.9)

По определению, задачей двойственной к (3.9), будет задача:

, не ограничен в знаке

(3.10)

Если обозначить через

, то (3.10) примет вид:

, не ограничен в знаке.

(3.11)

Из примера 3.1 следует, что если функция ИЗ минимизируется, то функция ДЗ максимизируется и ограничения меняют знак на противоположный (меньше либо равно).

Пример 3.2. Пусть ИЗ записана в виде основной ЗЛП:

(3.12)

Приведем ограничения задачи (3.12) к канонической форме:

(3.13)

Тогда ДЗ к основной ЗЛП будет иметь вид:

.

(3.14)

Пара задач (3.12),(3.14) называется симметричной парой двойственных задач.

Пример 3.3.

Прямая задача:

Прямая задача с ограничениями в канонической форме:

S₁ ≥ 0

Двойственная задача:

y_1,2 не ограничены в знаке.

Ограничение , т.е. , является более жестким, чем условие неограниченности у₁ в знаке, поэтому двойственная задача может быть записана в следующем виде:

у₂ не ограничена в знаке.

Если формулировать ДЗ к ИЗ, минуя ее приведение к КЗЛП, то на основании примера 3.3. можно сделать следующие выводы:

1. Если ограничение ИЗ является нестрогим, то соответствующая двойственная переменная ограничена в знаке;

2. Если ограничение ИЗ является строгим, то соответствующая двойственная переменная не ограничена в знаке.

Пример 3.4. Прямая задача:

min(5X₁ – 2X₂);

–X₁ + X₂ ≥ –3;

2X₁ + 3X₂ ≤ 5;

X_1,2 ≥ 0.

Прямая задача с ограничениями в канонической форме:

min(5X₁ – 2X₂ + 0S₁ + 0S₂);

–X₁ + X₂ – S₁ = –3;

2X₁ + 3X₂ + S₂ = 5;

Двойственная задача:

max(–3У₁ + 5У₂);

–У₁ + 2У₂ ≤ 5;

У₁ + 3У₂ ≤ –2;

–У₁ + 0У₂ ≤ 0;

0У₁ + У₂ ≤ 0.

У_1,2 не ограничены в знаке.

Отбрасывая избыточные ограничения, получаем:

max(–3У₁ + 5У₂);

–У₁ + 2У₂ ≤ 5;

У₁ + 3У₂ ≤ –2;

У₁ ≥ 0, У₂ ≤ 0.

Из решения примера 3.4 следует:

если в ИЗ ограничение является «неправильным» (в задаче на минимум - ≤, в задаче на максимум - ≥), то соответствующая двойственная переменная будет неположительной (У₂ ≤ 0).

Пример 3.5. ИЗ:

max(5X₁ + 6X₂);

X₁ + 2X₂ = 5;

–X₁ + 5X₂ ≥ 3;

4X₁ + 7X₂ ≤ 8.

X₁ не ограничена в знаке, X₂ ≥ 0.

ИЗ в канонической форме:

max(5 – 5 + 6X₂ + 0S₁ + 0S₂);

+ 2X₂ = 5;

+ 5X₂ – S₁ = 3;

4 + 7X₂ + S₂ = 8;

ДЗ:

min(5У₁ + 3У₂ + 8У₃);

У₁ – У₂ + 4У₃ ≥ 5;

–У₁ + У₂ – 4У₃ ≥ –5;

2У₁ + 5У₂ + 7У₃ ≥ 6;

0У₁ – У₂ + 0У₃ ≥ 0;

0У₁ + 0У₂ + У₃ ≥ 0.

У_1,2,3 не ограничены в знаке.

Заметим, что первое и второе ограничения двойственной задачи можно заменить одним ограничением в виде равенства, избыточные ограничения на У₂ и У₃ можно отбросить. В итоге получаем:

min(5У₁ + 3У₂ + 8У₃);

У₁ – У₂ + 4У₃ = 5;

2У₁ + 5У₂ + 7У₃ ≥ 6;

У₁ не ограничена в знаке;

У₂ ≤ 0, У₃ ≥ 0.

Из решения примера 3.5 следует:

если переменная ИЗ не ограничена в знаке, то соответствующее ограничение ДЗ будет иметь вид строгого равенства.

Теорема 3.1. Задача, двойственная к двойственной, совпадает с исходной, т.е. . Доказательство очевидно.

На основании выводов, сделанных при решении примеров 3.1.-3.5., можно формулировать общие правила построения ДЗ для ИЗ, записанной в произвольной форме.

1. Если целевая функция ИЗ максимизируется, то целевая функция ДЗ минимизируется, и наоборот.

2. Если в ИЗ на максимум (минимум) i-е ограничение имеет вид ≥(≤) («неправильное»), то в ДЗ i-я переменная будет неположительной.

3. Если i-е ограничение ИЗ имеет вид строгого равенства, то i-я переменная ДЗ будет не ограничена в знаке.

4. Если в ИЗ j-я переменная не ограничена в знаке, то j-е ограничение ДЗ будет строгим равенством.