- •Оглавление Введение. Экономика и математика Часть I. Линейные модели и методы в экономике.
- •Глава 1. Принятие решений в экономике
- •Глава 2. Линейное программирование. Теоретические основы и алгоритмы.
- •Глава 3. Теория двойственности в линейном программировании и ее экономические приложения.
- •Глава 4. Транспортная задача и ее приложения.
- •Глава 5. Задача целочисленного линейного программирования
- •Введение. Экономика и математика
- •Часть I. Линейные модели и методы в экономике.
- •Глава 1. Принятие решений в экономике.
- •1.1. Моделирование
- •1.2. Математическое моделирование.
- •1.3. Алгоритм исследования операции.
- •Алгоритм исследования операций.
- •1.4. Примеры исследования операции (моделирование)
- •1.5.Классификация моделей и методов исследования операций
- •Глава 2.
- •2.1. Постановки задачи линейного программирования
- •Основная задача линейного программирования (ОснЗлп)
- •Каноническая задача линейного программирования (кзлп)
- •2.2. Выпуклые множества.
- •0Пределение 2.4.
- •2.3. Теоретические основы линейного программирования
- •2.4. Графический метод и анализ решения злп
- •Проведем графический анализ решения (модели) на чувствительность.
- •2.5. Симплекс-метод решения злп.
- •Определение к-матрицы кзлп
- •Переход от одной к-матрицы злп к другой к-матрице
- •Симплекс-разность к-матрицы злп
- •Алгоритм симплекс-метода
- •2.6. Двойственный сиплекс-метод (р-метод)
- •Определение р-матрицы злп
- •Условия перехода от одной р-матрицы злп к другой
- •Решение задач р-методом
- •2.7.Метод искусственного базиса Назначение и принцип работы методов искусственного базиса
- •2.8. Модифицированный симплекс-метод Постановка задачи
- •Алгоритм модифицированного симплекс-метода
- •Решение задачи модифицированным симплекс-методом
- •2.9. Решение злп на основе Ms Excel
- •Глава 3. Теория двойственности в линейном программировании и ее экономические приложения.
- •3.1. Определение двойственной задачи:
- •3.2. Основные теоремы двойственности
- •3. 3. Экономическая интерпретация двойственности
- •Экономическое содержание теории двойственности.
- •3.4.Применение теории двойственности к решению задач. Применение теоремы 3.5 к решению дз.
- •3.5. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •2. Определите статус, ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.
- •3. Определите максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального плана, то есть номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменения.
- •4. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов (себестоимость), используемых при производстве единицы каждого изделия. Производство какой продукции нерентабельно?
- •5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?
- •6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли?
- •8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде .
- •9. Определите интервалы изменения цен на каждую продукцию, при которых сохраняется оптимальный план.
- •10. На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу продукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рентабельным?
- •11. На сколько нужно изменить запас каждого из дефицитных ресурсов, чтобы прибыль возросла на 20%?
- •3. Определите суммарную стоимостную оценку питательных веществ в единице каждого корма, использование какого вида корма нерентабельно.
- •Глава 4. Транспортная задача линейного программирования
- •0, Если безразлично, какой потребитель недополучит заявленного количества груза
- •4.3. Экономические задачи, сводящие к транспортной задаче.
- •Теорема о разрешимости транспортной задачи
- •4.4. Опорный план тз. Алгоритмы нахождения исходного плана.
- •4.4.1. Определения опорного плана тз.
- •4.4.2. Методы составления первоначальных опорных планов
- •4.5. Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •4.6. Задача о назначениях
- •Глава 5. Задача целочисленного линейного программирования
- •5.1.Постановки и методы решения
- •5.2.Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •5.3. Задача Коммивояжера.
3. 3. Экономическая интерпретация двойственности
Задача торга.
Рассмотрим один цикл работы предприятия с технологической матрицей А, векторами удельных прибылей ͞c и запасов ресурсов ͞b. Соответствующая задача оптимального планирования в развернутой форме:
(1)
Предположим, что к Владельцу предприятия пришел Покупатель и предложил продать ему все или часть ресурсов, запасенных Владельцем. Почему бы и нет? В нормальной экономике не может быть категорических отказов, все дело в цене. Начинается торг вокруг цен на ресурсы или, лучше сказать, оценок ресурсов, потому что торг происходит не на рынке, и мало ли какие соображения могут быть и у Владельца и у Покупателя. Обозначим оценку i-го ресурса через . Покупатель сразу же обозначил свою цель – заплатить поменьше, т.е.
Однако у Владельца свои резоны. Посмотрите, говорит он, за единицу -й продукции я получу прибыль , истрачу на производство единицы этой продукции единиц различных ресурсов, поэтому разумно так оценить ресурсы, чтобы .
И это должно быть верно для всех видов продукции.
Сведем вместе все аргументы Владельца и Покупателя и получим новую ЗЛП:
(2)
Она называется двойственной к исходной задаче (1), а вместе эти 2 задачи и образуют задачу торга. Заметим, что каждому ограничению исходной задачи, т.е. каждому ресурсу, поставлена в соответствие двойственная переменная. Из дальнейшего будет ясно, что обе задачи имеют оптимальные решения. Оптимальное значение двойственной переменной, соответствующей данному ресурсу, называется двойственной оценкой ресурса.
Экономическое содержание теории двойственности.
Центральный вопрос, который рассматривается в этой теории, - это вопрос о ценности ресурса. Но ценности его не рыночной, а исключительно с внутренней точки зрения данного предприятия, с точки зрения эффективного использования этого ресурса в сложившейся структуре производства, определяемой технологической матрицей и удельными прибылями. При этом оценка ценности производится только в процессе использования ресурса в одном цикле производства. Это является элементом условности, абстрактности, не совсем отражающим реальность.
Из всего этого вытекает следующая основополагающая оценка ценности ресурса – сколько прибыли может принести вовлечение в производство еще одной единицы данного ресурса? Конкретно это означает следующее. Рассмотрим задачу оптимального планирования с данными вектором запасов ресурсов . Найдем максимальную прибыль. Найдем оптимальное решение двойственной задачи . Как уже указывалось ранее, оптимальные значения переменных двойственной задачи называются двойственными оценками ресурсов. Именно двойственные оценки ресурсов и есть мера их ценности с рассматриваемой точки зрения, как раз это утверждает теорема 3.10. Действительно, в условиях теоремы добавочное вовлечение в производство одной единицы i-го ресурса увеличивает максимальную прибыль как раз на величину двойственной его оценки.
Теорема 3.10 утверждает и еще одну важную вещь. Всякое изменение ассортимента выпускаемой продукции болезненно для производства – надо искать покупателей новых видов продукции и как-то объясняться с покупателями тех видов продуктов, которые не будут выпускаться; необходимо перестроить производство – часть станков законсервировать, а другую часть наладить, переучить рабочих и т.д. Однако теорема 3.10 утверждает, что в определенных условиях, при изменении величины запасов, ассортимент выпускаемой продукции не изменится, произойдут лишь некоторые количественные изменения.
Теперь обратимся к экономическому смыслу теоремы 3.5 (нежёсткости) теории двойственности. Опять рассмотрим исходную задачу оптимального планирования, ее оптимальный план и двойственную задачу с ее оптимальным планом . Взглянем теперь на четвёртую группу соотношений из (3.30) . Назовем j-ю технологию невыгодной, если > . Смысл названия понятен – эта технология не извлекает из ресурсов того, что «в них содержится»: с одной единицы продукции, сделанной по данной технологии, получается прибыль , а потраченные при этом ресурсы оцениваются в , т.е. больше. На основании теоремы нежёсткости ,если > , то = 0 , т.е. в оптимальном плане ни одна невыгодная технология не используется!
А о чем говорят соотношения: если то yi* = 0,? Их смысл тоже очень ясен. Если в оптимальном плане данный ресурс используется не полностью, если он остался в ненулевом количестве, то его двойственная оценка равна нулю. Не он сдерживает получение еще большей прибыли – ведь его запас не исчерпан. Ресурс с положительной двойственной оценкой называют еще узким местом производства. Соотношения: если yi* > 0, то
утверждают, что ресурс, являющийся узким местом производства, обязательно полностью используется в оптимальном плане.
Прокомментируем еще с экономической точки зрения основное неравенство теории двойственности: для любых допустимых решений пары двойственных задач. Это неравенство можно трактовать так: если мы согласны с аргументами Владельца, что потраченные на производство одной единицы продукции ресурсы должны оцениваться не меньше, чем полученная от реализации этой единицы продукции прибыль, то никакой допустимый план производства не может извлечь из запасенных ресурсов больше, чем их суммарная оценка; т.е. больше, чем «в них содержится».
Ну, а теорема 3.3 двойственности утверждает, что только оптимальный план извлекает из ресурсов в точности столько, сколько в них содержится.