8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде .

а) случай, при котором вектор находится в допустимом интервале

Максимальный интервал изменения запасов:

206,67≤ ≤8240

714,894≤ ≤12166,66

540≤ ≤2950

Допустим, , тогда

=-1114,118.

Решение задачи, т.е. и ^* можно найти, подставив в шаблон оформления задачи вектор .

б) случай, при котором вектор не входит в допустимый интервал. В этом случае воспользоваться пользоваться вышеприведенной формулой для нельзя. Допустим, , тогда, внеся изменения в шаблон, получим:

1. Отчет по результатам:

2. Отчет по устойчивости:

Решение этой задачи является принципиально другим:

Рентабельным остается выпуск продукции только C и D, а продукция B становится нерентабельной и третий ресурс становится недефицитным и его ценность (теневая цена) равна нулю.

9. Определите интервалы изменения цен на каждую продукцию, при которых сохраняется оптимальный план.

Из отчета по устойчивости (изменяемые ячейки):

0 ≤ с₁ ≤ 7,9

3-0,191 ≤ с₂ ≤3+7,5

6-0,956 ≤ с₃ ≤6+ 67,8

12-0,8784 ≤ с₄ ≤ 12+0,75

0 ≤ с₁ ≤ 7,9

2,8085 ≤ с₂ ≤10,5

5,0441 ≤ с₃ ≤6+ 73,8

11,1216≤ с₄ ≤ 12,75

Поскольку продукт А не производится, то уменьшение его цены не скажется на решении (продукт А по-прежнему не будет выпускаться), а если цена превысит величину 7,905, то продукт А станет рентабельным.

10. На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу продукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рентабельным?

В нашем случае нерентабельным (неприбыльным) является выпуск продукта А.

Первое ограничение двойственной задачи(оценка рентабельности изделия А) имеет вид:

2Y₁+Y₂+3Y₃ ≥ 7,5.

Отчет по устойчивости:

Если не снижать затраты сырья на единицу продукции А, то продукт А станет рентабельным, если его цена возрастет с 7,5 до 7,905.

С другой стороны, продукт А можно сделать рентабельным, снизив его себестоимость, что можно сделать, снизив затраты сырья на единицу продукции.

Уравнение рентабельности для продукта А имеет вид:

(2-∆₁)∙2,813+(1-∆₂) ∙0,037+(3-∆₃) ∙0,747=7,5, где - возможное снижение затрат по i-му сырью на единицу продукции А.

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Например, если ∆₂ =∆₃ =0, тогда уравнение примет вид:

2- ∆₁ =7,5/2,813

∆₁ =-0,6661 – одно из возможных решений, т.е. если потребление первого ресурса на единицу продукции А снизится с 2 единиц до 2-0,6661=1,339, то продукция А станет рентабельной.

11. На сколько нужно изменить запас каждого из дефицитных ресурсов, чтобы прибыль возросла на 20%?

Отчет по устойчивости:

Поскольку двойственные переменные (теневые цены) показывают, на сколько изменится прибыль при изменении ресурса на единицу, то общее изменение прибыли можно записать в виде

8290,456*0,2=

Данное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Например, если , то

= /(2,813+0,037+0,747)=460,965

b₁=2400+460,965=2860,965

b₂=1200+460,965=1660,965

b₃=2000+460,965=2460,965

Пример 3.10.

Из 4 видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее 420 ед. вещества А, 210 ед. вещества В и 270 ед. вещества С. Количество еди­ниц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида, указано в соответствующей таб­лице. В ней же приведена цена 1 кг корма каждого вида.

Вещество	Количество каждого вещества, содержащегося в 1 кг каждого вещества
	1	2	3	4
А	14	5	7	10
В	0	7	8	15
С	18	7	12	0
Цена 1 кг корма (руб)	9	11	12	10

= (400,180,200); Z = 30

Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питатель­ных веществ и имеющий минимальную стоимость.

Математическая модель задачи имеет вид:

(целевая функция)

Решение ЗЛП в Ms Exel:

Занесем в данную задачу числовую информацию:

• К моменту вызова сервиса «Поиск решения» на рабочем столе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.

• В меню Сервис выбираем Поиск решения. В появившемся окне задаем следующую информацию:

• а) в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции H5

• б) «флажок» устанавливаем на вариант «минимальному значению», т.к. в данном случае, целевая функция дохода подлежит минимизации;

• в) в качестве изменяемых ячеек заносится адрес строки значений переменных С4:F4;

• г) справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения

д) в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адрес формулы для левой части первого ограничения G9, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае >=), в поле «Ограничение» заносится ссылка на правую часть ограничения I9

Таким образом, окно «Поиск решения» с занесенной информацией выглядит следующим образом

Далее необходимо нажать кнопку Параметры, установить «флажки» «Линейная модель» и «Неотрицательные значения», поскольку в данном случае задача является ЗЛП, а ограничение 6) требует неотрицательности значений

Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется окно результата решения

Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В данном примере достаточно сохранить найденное решение, нажав «ОК». В результате получено решение задачи.

Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения, это означает, что при оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок», максимизации/минимизации и т.д.).

1. Найти решение исходной и двойственной задачи.

Двойственная задача имеет вид:

Отчет по результатам (решение исходной задачи)

Отчет по устойчивости (решение двойственной задачи):

*=(20;0;0;14) – столбец "результат" из отчета по результатам.

*=(0,6429;0,2381;0) – решение двойственной задачи – столбец "теневая цена" из отчета по устойчивости

f( *)=g( *) =320 – целевая ячейка "результат из отчета" по результатам.

2. Определите, все ли виды кормов входят в рацион, ценность дополнительной еди­ницы каждого питательного вещества и его приоритет при решении задач уменьшения стоимости рациона.

Отчет по результатам (решение исходной задачи):

Отчет по устойчивости (теневая цена):

Из отчета по результатам видно, что в рацион входят первый (20 кг) и четвертый (14 кг) корма.

Так как первое и второе ограничения ИЗ являются связными (см. отчет по результатам), то оптимальный рацион по питательным веществам А и В имеет минимальную питательность, т.е. содержание питательных веществ А и В не превышает заданный минимальный уровень.

Третье ограничение является несвязанным, т.е. содержание питательного вещества С (310 ед.) превышает заданный минимальный уровень (270 ед.) на 90 ед.

_{Ценность единицы} i-го питательного вещества определяется значением соответствующей двойственной переменной _.

_{Т.к. >0, >0, то любое уменьшение содержания питательных веществ А и В будет приводить к уменьшению стоимости рациона, и поскольку > , то при уменьшении на единицу содержания вещества А стоимость рациона уменьшится на 0,64 д.е., а вещества В – на 0,24 д.е.}

_{Т.к. , то изменение содержания питательного вещества С не скажется на стоимости рациона.}