- •Оглавление Введение. Экономика и математика Часть I. Линейные модели и методы в экономике.
- •Глава 1. Принятие решений в экономике
- •Глава 2. Линейное программирование. Теоретические основы и алгоритмы.
- •Глава 3. Теория двойственности в линейном программировании и ее экономические приложения.
- •Глава 4. Транспортная задача и ее приложения.
- •Глава 5. Задача целочисленного линейного программирования
- •Введение. Экономика и математика
- •Часть I. Линейные модели и методы в экономике.
- •Глава 1. Принятие решений в экономике.
- •1.1. Моделирование
- •1.2. Математическое моделирование.
- •1.3. Алгоритм исследования операции.
- •Алгоритм исследования операций.
- •1.4. Примеры исследования операции (моделирование)
- •1.5.Классификация моделей и методов исследования операций
- •Глава 2.
- •2.1. Постановки задачи линейного программирования
- •Основная задача линейного программирования (ОснЗлп)
- •Каноническая задача линейного программирования (кзлп)
- •2.2. Выпуклые множества.
- •0Пределение 2.4.
- •2.3. Теоретические основы линейного программирования
- •2.4. Графический метод и анализ решения злп
- •Проведем графический анализ решения (модели) на чувствительность.
- •2.5. Симплекс-метод решения злп.
- •Определение к-матрицы кзлп
- •Переход от одной к-матрицы злп к другой к-матрице
- •Симплекс-разность к-матрицы злп
- •Алгоритм симплекс-метода
- •2.6. Двойственный сиплекс-метод (р-метод)
- •Определение р-матрицы злп
- •Условия перехода от одной р-матрицы злп к другой
- •Решение задач р-методом
- •2.7.Метод искусственного базиса Назначение и принцип работы методов искусственного базиса
- •2.8. Модифицированный симплекс-метод Постановка задачи
- •Алгоритм модифицированного симплекс-метода
- •Решение задачи модифицированным симплекс-методом
- •2.9. Решение злп на основе Ms Excel
- •Глава 3. Теория двойственности в линейном программировании и ее экономические приложения.
- •3.1. Определение двойственной задачи:
- •3.2. Основные теоремы двойственности
- •3. 3. Экономическая интерпретация двойственности
- •Экономическое содержание теории двойственности.
- •3.4.Применение теории двойственности к решению задач. Применение теоремы 3.5 к решению дз.
- •3.5. Анализ решения злп на основе отчетов ms excel
- •2. Определите статус, ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.
- •3. Определите максимальный интервал изменения запасов каждого из ресурсов, в пределах которого структура оптимального плана, то есть номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменения.
- •4. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов (себестоимость), используемых при производстве единицы каждого изделия. Производство какой продукции нерентабельно?
- •5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?
- •6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли?
- •8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде .
- •9. Определите интервалы изменения цен на каждую продукцию, при которых сохраняется оптимальный план.
- •10. На сколько нужно снизить затраты каждого вида сырья на единицу продукции, чтобы сделать производство нерентабельного изделия рентабельным?
- •11. На сколько нужно изменить запас каждого из дефицитных ресурсов, чтобы прибыль возросла на 20%?
- •3. Определите суммарную стоимостную оценку питательных веществ в единице каждого корма, использование какого вида корма нерентабельно.
- •Глава 4. Транспортная задача линейного программирования
- •0, Если безразлично, какой потребитель недополучит заявленного количества груза
- •4.3. Экономические задачи, сводящие к транспортной задаче.
- •Теорема о разрешимости транспортной задачи
- •4.4. Опорный план тз. Алгоритмы нахождения исходного плана.
- •4.4.1. Определения опорного плана тз.
- •4.4.2. Методы составления первоначальных опорных планов
- •4.5. Метод потенциалов решения транспортной задачи
- •4.6. Задача о назначениях
- •Глава 5. Задача целочисленного линейного программирования
- •5.1.Постановки и методы решения
- •5.2.Метод ветвей и границ решения целочисленных задач линейного программирования (цзлп)
- •5.3. Задача Коммивояжера.
Теорема о разрешимости транспортной задачи
Рассмотрим сбалансированную транспортную задачу.
найти минимальное значение линейной функции
; (4.1)
при ограничениях
= , I = 1,…,m; (4.2)
(4.3)
xij ³ 0, i = 1,…, m; j = 1,…, n. (4.4)
. (4.5)
Транспортная задача имеет n + m уравнений с mn неизвестными.
Определение 4.1. Матрицу Х = (хij)m,n, удовлетворяющую условиям (4.2) – (4.4), называют планом перевозок транспортной задачи (хij - перевозками).
Определение 4.2. План Х*, при котором целевая функция (4.1) обращается в минимум, называется оптимальным.
Теорема 4.1. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно выполнение условия баланса (4.5):
.
Доказательство:
1.Необходимость
Пусть ТЗ - разрешима;
а) Суммируем ограничения «4.2» по i:
б) Суммируем ограничения «4.3» по j:
Т.к левые части выражений а) и б) равны, то равны и правые части,
следовательно,
2. Достаточность. Пусть выполнено условие (4.5), т.е.
Построим матрицу Х = (хij)m,n, где
(4.6)
Подставляя (4.6) в (4.2)получаем:
Аналогично подставляя (4.6) в (4.3), получим
Кроме того очевидно, что , следовательно матрица X является планом ТЗ, т.е. множество планов ТЗ не пусто.
Для установления разрешимости ТЗ осталось показать, что линейная функция (4.1) ограничена снизу на множестве планов ТЗ. Условия (4.2)-(4.3). обеспечивают выполнение неравенств
С ледовательно, для любого плана Х линейная функция (4.1) ограничена снизу на множестве планов ТЗ.
Достаточность условий теоремы можно было доказать по-другому, т.к. множество планов ТЗ – ограниченное множество и, следовательно, любая непрерывная функция достигает своей нижней грани.
4.4. Опорный план тз. Алгоритмы нахождения исходного плана.
4.4.1. Определения опорного плана тз.
Определение 4.3. План транспортной задачи называется опорным, если положительным перевозкам соответствует система линейно независимых векторов где - векторы при переменных в матрице системы ограничений (4.2.)-(4.3.)
Теорема 4.2. Существует план, содержащий не более (m + n – 1) положительных перевозок, при этом система векторов , соответствующая таким перевозкам (хij > 0), линейно независима.
В силу (4.5) система (4.2)-(4.3) содержит не более чем (m + n – 1) независимых уравнений, т.е. ранг системы меньше или равен (m + n – 1). В матрице ограничений (4.2)-(4.3) не трудно обнаружить квадратную матрицу порядка (m + n – 1), с определителем не равным нулю, следовательно ранг системы уравнений равен (m + n – 1).
Таким образом, опорный план транспортной задачи содержит (m + n – 1) положительных перевозок. Если положительных перевозок в плане меньше чем (m + n – 1), то он называется вырожденным.
Дадим другое определение опорного плана.
Определение 4.4. План транспортной задачи называется опорным, если из его основных коммуникаций (ij) невозможно составить замкнутый маршрут.