- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах
- •1.1. Понятия системного подхода и большой системы
- •1.2. Эффективность больших систем
- •1.3. Управление в больших системах
- •1.4. Структура систем управления
- •1.5. Основные понятия системного моделирования
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний
- •2.1. Принципы построения математических моделей
- •2.2. Требования, предъявляемые к математическим моделям
- •2.3. Моделирование больших систем методом статистических испытаний. Сущность метода статистических испытаний. Точность метода
- •Вопрос 1.
- •2.3.1. Формирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения
- •2.3.2. Приближенные методы формирования случайных величин с заданным законом распределения вероятностей
- •2.3.3. Моделирование системы массового обслуживания
- •1,07 1,09 1,14 Моделируемое время t
- •2.3.4. Получение наблюдений при моделировании
- •Прикладные задачи имитационного моделирования
- •Ориентированный процесс случайного блуждания как метод прогнозирования
- •2.4.2. Модифицированный имитационным моделированием метод экспоненциального сглаживания
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний
- •3.1. Оценка качества моделей
- •3.1.1. Методы повышения качества оценок показателей эффективности
- •3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.3. Активные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.4. Косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.2. Планирование имитационных экспериментов
- •3.2.1. Общая схема испытаний
- •3.2.2. Полные факторные планы испытаний
- •3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний
- •3.2.4. Анализ результатов испытаний
- •3.2.5. Оптимальные планы
- •Методы принятия решений по результатам испытаний
- •Общая процедура принятия решений
- •3.3.2. Проверка гипотез о параметрах
- •Принятие решений о стабильности условий испытаний
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Оглавление
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах 6
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний 43
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний 147
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
1,07 1,09 1,14 Моделируемое время t
Рис. 2.10. Распределение числа клиентов и времени ожидания
Процедура имеет большое сходство с физическим экспериментом.
Выполнив упражнение с помощью «ручных» вычислений, можно убедится в необходимости использования ПЭВМ при моделировании. Использование ПЭВМ становится еще более привлекательным из-за возможности применения таких специализированных языков моделирования, как GASP, SIAM, GPSS и SIMSCRIPT. Эти языки разработаны для того, чтобы избавить пользователя от утомительной необходимости программирования многочисленных деталей. Например, все языки дают возможность автоматически генерировать и запоминать события в хронологическом порядке с помощью всего одного оператора. Кроме того, все языки обладают очень простыми операторами для автоматического табулирования операционных характеристик системы. Имея подобные языки, пользователь может сосредоточить усилия на улучшении модели.
2.3.4. Получение наблюдений при моделировании
Изложив приемы построения и эксплуатации имитационных моделей, рассмотрим теперь важный вопрос, касающийся получения наблюдений при моделировании. Поскольку моделирование представляет собой эксперимент, получаемые наблюдения должны быть статистически независимы и одинаково распределены, с тем, чтобы была обеспечена возможность правильной статистической интерпретации моделируемой системы.
В любом физическом эксперименте оценка результата обычно основывается на среднем значении независимых наблюдений. Величина выбирается таким образом, чтобы был гарантирован определенный доверительный уровень. При моделировании оценка операционной характеристики системы также должна основываться на наблюдениях. Тем не менее, получение независимых наблюдений при моделировании намного сложнее, чем при обычном лабораторном эксперименте. Мы уже видели в примере применения метода Монте-Карло, что первоначально результаты моделирования имеют неустойчивый характер (переходное состояние), а устойчивость (стационарность) обычно достигается при достаточно продолжительном прогоне модели. Таким образом, следует не начинать наблюдения слишком рано, поскольку полученные при этом данные характеризуются значительным разбросом и поэтому не могут давать представление о подлинном поведении системы. Для нас представляет интерес в основном получение наблюдении после того, как достигнуто стационарное состояние, так как в этом случае выборочная ошибка (измеряемая средним квадратичным отклонением) уменьшается, и, следовательно, результаты становятся более точными.
При дискретном моделировании достижение стационарного состояния зависит от начальных условий системы, а также от параметров системы. Например, в однофазной модели моделирование может начинаться (в момент ) при отсутствии клиентов в системе или же при непустой очереди. Эти два начальных условия влияют на продолжительность прогона модели, необходимого для достижения стационарного состояния. Что касается характеристик системы, то в одной и той же модели относительные значения интенсивности поступления требований на обслуживание и скорости обслуживания непосредственно сказываются на продолжительности моделирования, необходимого для достижения стационарного состояния. Чем меньше отношение интенсивности поступления требований к скорости обслуживания, тем быстрее модель достигнет стационарного режима.
Поскольку основная цель состоит в получении наблюдений с возможно меньшей ошибкой, этого можно достичь с помощью
1) очень длительных прогонов модели, позволяющих увеличить вероятность достижения стационарного состояния;
2) повторения прогонов модели с различными последовательностями случайных чисел, каждый из которых дает одно наблюдение. Использование различных последовательностей случайных чисел приводит к желаемой независимости получаемых наблюдений. Выборочная ошибка уменьшается, если наблюдения получены в стационарных условиях, но ее можно сделать еще меньше, взяв среднее этих наблюдений, поскольку среднее квадратичное отклонение среднего наблюдений составляет среднего квадратичного отклонения отдельных наблюдений.
Несмотря на то, что описанная выше процедура дает небольшую выборочную ошибку, следует обратить внимание на усилия, необходимые для получения наблюдений. Другими словами, хотя уменьшение выборочной ошибки важно, нельзя добиваться этой цели любой ценой. Очевидно, что очень продолжительные прогоны модели, осуществляемые для преодоления переходного состояния, неэкономичны, поскольку они требуют больших затрат машинного времени.
На практике при получении наблюдений при моделировании необходимо иметь в виду два следующих соображения:
затраты на моделирование могут существенно зависеть от продолжительности прогонов модели;
выборочную ошибку можно уменьшить за счет использования улучшенных методов получения выборок, направленных на уменьшение статистической ошибки.
Вполне естественно, что нельзя получить что-то из ничего. Как будет показано ниже, продолжительность прогонов модели можно уменьшать, либо получая выборки в переходном состоянии системы, либо достигая устойчивого состояния, но жертвуя при этом некоррелированностью наблюдений. Полезны методы уменьшения выборочной ошибки, называемые методами уменьшения дисперсии, однако их реализация при построении имитационной модели связана с рядом трудностей. Оба положения будут обсуждены ниже.
Рассмотрим два метода получения наблюдений: 1)метод повторения, 2)метод подынтервалов. Имеются и другие методы, однако эти два, по-видимому, наиболее подходят для практических приложений.
В любом методе получения наблюдений важную роль играет начальный период, во время которого модель переходит в стационарный режим. Естественно, что этот период зависит от типа имитационных моделей и начальных условий. Однако существуют методы, позволяющие определять с точностью до систематической ошибки, можно или нельзя достичь стационарного состояния. Эти методы получили название прерывающих процедур, поскольку в них фиксируется продолжительность начального периода моделирования, который прерывается раньше, чем начинается получение наблюдений.
Метод повторения
При использовании этого метода каждое наблюдение получается при помощи отдельного прогона модели, причем все прогоны начинаются при одних и тех же начальных условиях, но используются различные последовательности случайных чисел. Преимуществом этого метода является статистическая независимость получаемых наблюдений – основное предположение, необходимое для использования любого статистического теста. Недостаток состоит в том, что наблюдения могут оказаться сильно смещенными под влиянием начальных условий (переходное состояние). Как уже отмечалось выше, мы не можем преодолеть этот недостаток за счет длительных прогонов, поскольку имеются ограничения на продолжительность использования ПЭВМ.
Пусть представляют собой наблюдений некоторой характеристики системы, получаемых при помощи метода повторения. Тогда лучшая оценка операционной характеристики задается как среднее
и -ный доверительный интервал для точного значения
среднего вычисляется как
где и есть -статистика с степенями свободы.
Метод подынтервалов
Метод подынтервалов направлен на уменьшение влияния переходных условий, которому подвержен метод повторения. Метод основан на разбиении каждого прогона модели на равные промежутки времени. Начало каждого интервала совпадает с началом записи информации о новом наблюдении.
Преимущество этого метода состоит в том, что со временем влияние переходных условий уменьшается и, таким образом, наблюдения все лучше отражают реальные условия.
Рис. 2.11. Графическая интерпретация Метода подынтервалов
Недостатком метода является то, что предположение независимости не выполняется, поскольку величины, возникающие в начале интервала, очевидно, зависят от конечных условий предыдущего интервала. Отсюда следует, что между последовательными интервалами существует автокорреляция. Влияние автокорреляции можно уменьшить, во-первых, увеличивая число наблюдений , и, во-вторых, увеличивая длину интервала, соответствующего каждому наблюдению. Заметим, однако, что обе рекомендации приводят к увеличению машинного времени, а следовательно, и к росту затрат на моделирование.