- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах
- •1.1. Понятия системного подхода и большой системы
- •1.2. Эффективность больших систем
- •1.3. Управление в больших системах
- •1.4. Структура систем управления
- •1.5. Основные понятия системного моделирования
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний
- •2.1. Принципы построения математических моделей
- •2.2. Требования, предъявляемые к математическим моделям
- •2.3. Моделирование больших систем методом статистических испытаний. Сущность метода статистических испытаний. Точность метода
- •Вопрос 1.
- •2.3.1. Формирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения
- •2.3.2. Приближенные методы формирования случайных величин с заданным законом распределения вероятностей
- •2.3.3. Моделирование системы массового обслуживания
- •1,07 1,09 1,14 Моделируемое время t
- •2.3.4. Получение наблюдений при моделировании
- •Прикладные задачи имитационного моделирования
- •Ориентированный процесс случайного блуждания как метод прогнозирования
- •2.4.2. Модифицированный имитационным моделированием метод экспоненциального сглаживания
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний
- •3.1. Оценка качества моделей
- •3.1.1. Методы повышения качества оценок показателей эффективности
- •3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.3. Активные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.4. Косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.2. Планирование имитационных экспериментов
- •3.2.1. Общая схема испытаний
- •3.2.2. Полные факторные планы испытаний
- •3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний
- •3.2.4. Анализ результатов испытаний
- •3.2.5. Оптимальные планы
- •Методы принятия решений по результатам испытаний
- •Общая процедура принятия решений
- •3.3.2. Проверка гипотез о параметрах
- •Принятие решений о стабильности условий испытаний
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Оглавление
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах 6
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний 43
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний 147
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
3.3.2. Проверка гипотез о параметрах
Рассмотрим первую группу задач статистической проверки гипотез, обеспечивающих принятие решений о средних значениях параметров. Возможны две основные задачи: проверка соответствия математических ожиданий одноименных параметров (задача проверки однородности), проверка соответствия этих математических ожиданий требованиям ТТЗ (ТУ).
В первом случае
и ,
или
, .
Во втором случае
; ; ; .
С точки зрения выбора статистики критерия, в первой задаче исходим из того, что генеральные средние неизвестны, а во второй – известны. К числу других признаков относятся: сведения о в генеральной совокупности (известно, неизвестно; или ) и объеме испытаний ( или ; или ). Заменяя в записи выборочными средними , приведем наиболее часто используемые при проверке однородности двух совокупностей статистики критериев.
Если известно, то применяется статистика
. (3.3.1)
Критическое значение находится из таблицы Приложения по величине . Гипотеза принимается, если . Формула (3.3.1) применима и в том случае, если неизвестно, но обе спечена равная точность измерений и . При малом числе испытаний и неизвестном значении используется статистика -критерия:
, . (1.3.2)
Когда , , , применяется статистика
. (3.3.3)
При меньшем числе испытаний и используется статистика
, . (3.3.4)
Число степеней свободы определяется из условия . Этот вариант соответствует случаю, когда испытания проводятся в различных условиях или различными приборами (методами).
Из приведенных зависимостей видно, что для проверки гипотез о средних необходимо предварительно проверить стабильность условий испытаний (гипотезы о дисперсиях).
При проверке гипотез , если значение известно, вместо формулы (3.3.1) применяется
,
а если сведения о отсутствуют, то
, . (3.3.5)
Принятие решений о стабильности условий испытаний
Принятие решений о характеристиках точности осуществляется по результатам проверки гипотез относительно дисперсий (или
среднего квадратического отклонения): 1) , или , ; 2) , или , . Для второго случая характерна задача проверки стабильности условий испытаний, когда сравнивается точность работы приборов, инструмента или используемых методов измерений. Для проверки гипотезы применяется статистика -распределения
(3.3.6)
или статистика
(3.3.7)
Критическое значение выбирается по табл. П.2.6 по , и .
Пример. По данным летных испытаний ( ) получена оценка среднего квадратического отклонения по дальности км. Проверить при соответствие установленному в ТЗ требованию км.
Решение.
Выдвигается гипотеза , .
Для проверки гипотезы выбирается -критерий.
По , (так как ), из табл. П.2.6 получаем .
Статистическое решение: гипотеза не противоречит результатам испытания и может быть принята. Инженерное решение: рассеивание по дальности удовлетворяет требованиям ТЗ.
Если сравнивается несколько дисперсий ( ), то используют критерий Кохрена (если число испытаний ) или критерий Бартлетта.
Статистика критерия Кохрена
; . (3.3.8)
Критическое значение определяется по табл. П.2----?.
Статистика критерия Бартлетта
, . (3.3.9)
где ; ; , подчиняется -распределению с степенями свободы. Значение находится по табл. П.2.4-----?.
Обозначим через исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения . Для проверки гипотезы произведем выборку, состоящую из независимых наблюдений над случайной величиной . По выборке можно построить эмпирическое распределение исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического и теоретического распределений производится с помощью, специально подобранной случайной величины – критерия согласия. Существует несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.
Критерий согласия Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения.
Рассмотрим этот критерий. Разобьем всю область изменения на интервалов и подсчитаем количество элементов , попавших в каждый из интервалов . Предполагая известным теоретический закон распределения , всегда можно определить (вероятность попадания случайной величины в интервал ), тогда теоретическое число значений случайной величины , попавших в интервал , можно рассчитать по формуле . Результаты проведенных расчетов объединим в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Интервалы |
|
|
… |
|
… |
|
Эмпирические частоты |
|
|
… |
|
… |
|
Теоретические частоты |
|
|
… |
|
… |
|
Здесь ; .
Если эмпирические частоты сильно отличаются от теоретических, то проверяемую гипотезу следует отвергнуть, в противоположном случае – принять.
Сформулируем критерий, который бы характеризовал степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. В литературе по математической статистике доказывается, что статистика
имеет распределение с степенями свободы. Здесь число параметров распределения , рассчитанных по выборке.
Правило применения критерия сводится к следующему. Рассчитав значение и выбрав уровень значимости критерия , по таблице -распределёния определяют . Если , то гипотезу отвергают, если , то гипотезу принимают. Очевидно, что при проверке гипотезы о законе распределения контролируется лишь ошибка первого рода.
В заключение заметим, что необходимым условием применения критерия Пирсона является наличие в каждом из интервалов по меньшей мере 5-10 наблюдений. Если количество наблюдений в отдельных интервалах очень мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы. Проиллюстрируем применение критерия на двух примерах. В примере 6.5 разберем случай, когда ставится гипотеза о том, что исследуемая случайная величина подчиняется закону Пуассона, а в примере 6.6 – нормальному закону распределения.
Пример 6.5. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; 4; 3; 3;; 1; 4; 2; 2; 1; 1; 2; 1; 0; 3; 4; 1; 3; 2; 7; 2; 0; 0; 1; 3; 3; 1; 2; 4; 2; 0; 2; 3; 1; 2; 5; 1; 1; 0; 1; 1; 2; 2; 1; 1; 5. Определить среднюю арифметическую и дисперсию неправильных соединений в минуту и проверить выполнение основного условия для распределения Пуассона . Найти теоретическое распределение Пуассона и проверить степень согласия теоретического и эмпирического распределений по критерию Пирсона при уровне значимости .
Решение. Упорядочим результаты наблюдений, записав их в следующую таблицу
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
17 |
16 |
10 |
6 |
2 |
0 |
1 |
Обозначим через среднее число неправильных соединении в минуту. Имеем
Вычислим выборочную оценку дисперсии:
Необходимое условие для распределения Пуассона практически выполняется. Запишем теоретический закон Пуассона; в виде
.
Так как значение математического ожидания неизвестно, то подставим вместо него оценку по выборке. Имеем:
3, ,
, ,
, ,
, .
Запишем полученные результаты в таблицу 3.3.
Таблица 3.3
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
17 |
16 |
10 |
6 |
2 |
0 |
1 |
|
8,1 |
16,24 |
16,24 |
10,62 |
5,41 |
2,166 |
0,72 |
0,204 |
Объединим столбцы 5, 6 и 7, так как в каждом из них мало наблюдений. Тогда таблица преобразуется (табл. 3.4).
Таблица 3.4
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 и более |
|
8 |
17 |
16 |
10 |
6 |
3 |
|
8,1 |
16,24 |
16,24 |
10,82 |
5,41 |
3,09 |
Вычислим значение :
.
Примем уровень значимости . Количество интервалов . По выборке вычислен, один параметр, которым определяется закон Пуассона – математическое ожидание; следовательно, . Поэтому число степеней свободы . В табл. 7---------? приложений значениям и соответствует . Имеем , следовательно, нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу.
Таблица 3.5
№ интервала |
|
|
1 |
40-41 |
20 |
2 |
41-42 |
112 |
3 |
42-43 |
154 |
4 |
43-44 |
73 |
5 |
44-45 |
13 |
6 |
45-46 |
2 |
|
|
374 |
Решение. Как следует из анализа интервального вариационного ряда, необходимо объединить интервалы 5 и 6, так как в интервале 6 количество наблюдений менее 5. В результате объединения получим следующий ряд распределения:
|
40-41 |
41-42 |
42-43 |
43-44 |
44-46 |
|
20 |
112 |
154 |
73 |
15 |
Т еперь найдем вероятность ; выражает вероятность того, что случайная величина , имеющая нормальный закон распределения, принимает значение, принадлежащее интервалу (40; 41), то есть
Аналогично получаем: ; ; ; .
Для нахождения статистики удобно составить таблицу (табл. 3.6).
Таблица 3.6
№ п/п |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
40-41 |
20 |
0,0660 |
24,76 |
4,76 |
21,56 |
0,871 |
2 |
41-42 |
112 |
0,2762 |
103,70 |
8,30 |
68,89 |
0,664 |
3 |
42-43 |
154 |
0,3971 |
148,52 |
5,48 |
29,03 |
0,127 |
4 |
43-44 |
73 |
0,2128 |
79,59 |
6,59 |
43,43 |
0,546 |
5 |
44-46 |
15 |
0,0417 |
15,60 |
0,60 |
0,36 |
0,023 |
|
|
374 |
0,9938 |
372,17 |
|
|
2,231= |
Количество интервалов . По выборке рассчитаны два параметра: оценки для математического ожидания и дисперсии, следовательно, . Число степеней свободы .
В табл. 7-----------? приложений и соответствует . Имеем , следовательно, нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения предела текучести.