- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах
- •1.1. Понятия системного подхода и большой системы
- •1.2. Эффективность больших систем
- •1.3. Управление в больших системах
- •1.4. Структура систем управления
- •1.5. Основные понятия системного моделирования
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний
- •2.1. Принципы построения математических моделей
- •2.2. Требования, предъявляемые к математическим моделям
- •2.3. Моделирование больших систем методом статистических испытаний. Сущность метода статистических испытаний. Точность метода
- •Вопрос 1.
- •2.3.1. Формирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения
- •2.3.2. Приближенные методы формирования случайных величин с заданным законом распределения вероятностей
- •2.3.3. Моделирование системы массового обслуживания
- •1,07 1,09 1,14 Моделируемое время t
- •2.3.4. Получение наблюдений при моделировании
- •Прикладные задачи имитационного моделирования
- •Ориентированный процесс случайного блуждания как метод прогнозирования
- •2.4.2. Модифицированный имитационным моделированием метод экспоненциального сглаживания
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний
- •3.1. Оценка качества моделей
- •3.1.1. Методы повышения качества оценок показателей эффективности
- •3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.3. Активные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.4. Косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.2. Планирование имитационных экспериментов
- •3.2.1. Общая схема испытаний
- •3.2.2. Полные факторные планы испытаний
- •3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний
- •3.2.4. Анализ результатов испытаний
- •3.2.5. Оптимальные планы
- •Методы принятия решений по результатам испытаний
- •Общая процедура принятия решений
- •3.3.2. Проверка гипотез о параметрах
- •Принятие решений о стабильности условий испытаний
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Оглавление
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах 6
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний 43
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний 147
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний
Можно сократить число испытаний, если от ПФП перейти к дробным факторным планам, или дробным репликам от полного факторного эксперимента. При переходе от ПФП к ДФП важно сохранить ортогональность матрицы планирования. С этой целью в качестве реплики (ДФП) пользуются ПФП для меньшего числа факторов. Такая возможность существует, поскольку в ПФП число испытаний значительно превосходит количество определяемых коэффициентов линейной модели.
Пусть требуется получить уравнение регрессии вида
. (3.2.10)
Для решения задачи можно ограничиться четырьмя испытаниями , если в ПФП (табл. 2.5, а) столбец использовать в качестве плана для (табл. 2.5, а). Теперь элементы столбца служат не для расчета оценки , а характеризуют уровень фактора в каждом из опытов. Использованный план составляет половину ПФП , называется полурепликой ( -репликой) от и записывается формулой . В рассмотренной задаче возможны два варианта ДФП (табл. 2.5, а, б).
Таблица 2.5
а) б)
Номер опыта |
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
1 |
– |
– |
+ |
|
1 |
– |
– |
– |
2 |
– |
+ |
– |
|
2 |
– |
+ |
+ |
3 |
+ |
– |
– |
|
3 |
+ |
– |
+ |
4 |
+ |
– |
+ |
|
4 |
+ |
+ |
– |
Общее правило перехода от ПФП к ДФП сводится к следующему: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается вектор-столбец, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Формула ДФП имеет вид , где – количество факторов, введенных посредством замещения исключаемых из рассмотрения взаимодействий. В зависимости от соотношения чисел и реализуются , , и т. д. реплики ПФП.
Сокращение числа испытаний в рассмотренном примере достигнуто за счет утраты части информации: из рассмотрения исключено парное взаимодействие . В результате полученные оценки , , оказались смешанными оценками генеральных коэффициентов
; ; ,
поскольку соответствующие вектор-столбцы совпадают ( неразличимо с и т. д.). Эффективность ДФП определится тем, насколько удачно выбрана система смешивания линейных эффектов и эффектов взаимодействий. Поэтому при обращении к ДФП необходимо уметь заранее установить, какие из , являются несмешанными оценками соответствующих генеральных коэффициентов – определить разрешающую способность дробных реплик. Для этого находят применение понятия генерирующего соотношения и определяющего контраста.
Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан рассматриваемый эффект, называют генерирующим. В рассмотренном примере это или . Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения столбцов. Умножая левую и правую части определяющего контраста на и памятуя, что , получим определяющий контраст или . Теперь, последовательно умножая левые и правые части на , , , можно выявить систему смешивания факторов. Для ДФП (табл. 2.5,б)
; ; ,
откуда следует система смешивания
; ; ,
Для ДФП (табл. 2.5, а) аналогичным путем получаются приведенные ранее соотношения.
Обращаясь к ДФП , заметим, что матрица (табл. 2.5, а, б) совпадает с ПФП (см. табл. 2.2). Иначе план является опорным при построении дробной реплики . При с помощью ДФП удается учесть только один дополнительный фактор. Оценим, сколько же дополнительных факторов можно учесть, используя в качестве опорного ПФП . Из табл. 2.4 видно, что можно частично или полностью замещать четыре взаимодействия то есть вводить дополнительно до четырех факторов. При замещении одного фактора имеет место ДФП ( -реплика от ПФП ), двух – ( от ПФП ),трех – ( от ), четырех – ( от ПФП ). Если замещению подлежат все взаимодействия, то план называют насыщенным. В этом случае в модели учитываются только линейные взаимодействия. Для всех рассмотренных ДФП . Сравним, что при реализации ПФП, если , то (используется ПФП ); при ( ); при ( ); при ( ). В табл. 2.6 приведен пример формирования ДФП при различном выборе генерирующих соотношений.
Последовательность формирования ДФП включает: уяснение количества факторов и допустимого числа (в примере ), выбор реплики ( ), построение опорного плана ( ), установление генерирующих соотношений, нахождение определяющего контраста (обобщенного контраста), уяснение системы смешивания.
Выбор системы смешивания осуществляется на основе анализа физической сущности процесса, изучения конструкторской документации и данных предшествующих этапов испытаний. В общем случае стремятся отсеивать взаимодействия относительно высоких порядков.
Таблица 2.6
Генерирующее соотношение |
|
|
|
Определяющий контраст |
|
|
|
Система смешивания |
|
, |
, |
, |
, |
, |
, |
Система оценок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид модели |
|
|
|
|
|
При выборе, например, ДФП ( -реплики) возможны 12 вариантов решения. Если принять , , то система смешивания задается обобщающим определяющим контрастом, который получают, перемножая определяющие контрасты и между собой:
.
Тогда получается следующая система совместных оценок:
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; .
Соответствующий план испытаний показан в табл. 2.7.
Таблица 2.7
Номер опыта |
|
|
|
|
|
Номер опыта |
|
|
|
|
|
1 |
– |
– |
– |
– |
+ |
5 |
– |
– |
+ |
+ |
+ |
2 |
– |
+ |
– |
+ |
– |
6 |
– |
+ |
+ |
– |
– |
3 |
+ |
– |
– |
+ |
– |
7 |
+ |
– |
+ |
– |
– |
4 |
+ |
+ |
– |
– |
+ |
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
ДФП типа , как и ПФП, обладают следующими преимуществами: они ортогональны; каждый из коэффициентов вычисляется по всем испытаниям; все коэффициенты вычисляются с одинаковой и минимальной дисперсией.
При проведении испытаний учитывают, что изменение выходного параметра из-за влияния неконтролируемых факторов имеет случайный характер. Поэтому предусматривается случайный порядок проведения испытаний (рандомизация факторов). С этой целью последовательность испытаний (реализация строк матрицы планирования) определяется с помощью таблицы случайных чисел.