3.2.5. Оптимальные планы

Если целью испытаний является изучение характера процесса, то с получением адекватной модели они могут быть завершены. При доводочных испытаниях, когда – параметры конструкции, работа продолжается для получения координат точки в которой соответствует заданному (или экстремальному) значению. Рассмотрим два основных подхода к отысканию области оптимума : крутое восхождение и симплексный метод.

Крутое восхождение (метод Бокса-Уилсона) выгодно отличается от традиционной организации многофакторного экспе­римента, при проведении которого последовательно отыскивается экстремум по каждому из факторов. Сущность крутого восхожде­ния заключается в шаговом движении в

направлении наибольшего изменения функции (направлении градиента)

, (3.2.16)

с корректировкой этого направления после достижения частного экстремума функции. На пути движения к экстремуму производится регулярный статистический анализ. В (3.2.16) – единичные векторы в направлении координатных осей.

Определению служит реализация ПФП (ДФП), обеспе­чивающая получение адекватной модели чаще всего в виде линей­ного уравнения регрессии. Дальнейшие операции сводятся к сле­дующему.

Вычисляются произведения . Фактор, для которого имеет место принимается за базовый . Для базового фактора исходя из анализа физической сущности процесса устанавливается шаг варьирования (в направлении экстремума), после чего для других шаг рассчитывается про­порционально наклону поверхности отклика, характеризующемуся величиной :

. (3.2.17)

Затем производятся «мысленные опыты», которые заключаются в вычислении предсказываемых уравнением регрессии значений в точках факторного пространства. Через несколько (обычно два – пять) шагов

Рис. 3.2. Графическое представление проведения испытаний по схеме крутого восхождения

проводятся реальные испытания. Сравнивая опытные значения с расчетными, определяют наиболее близкие к экстре­мальным значения , где и проводится новая серия испытаний, по­сле чего при необходимости крутое восхождение продолжается. Испытания прекращаются, когда все или почти все значения не­значимы или близки к нулю.

Пример проведения испытаний по схеме крутого восхождения содержится в табл. 2.11.

В качестве параметра оптимизации рас­сматривалась удельная тяга ЖРД – , максимума которой до­бивались подбором форсунок окислителя разного диаметра соп­ла – фактор и изменением выходного сечения сопла – фактор . Предварительно по ПФП получена модель, с помо­щью которой определено градиентное направление . В дальнейшем проведение реальных испытаний чередовалось с мысленными

Таблица 2.11

Уровень
		мм
Основной………………………… Интервал…………………………. Нижний…………………………... Верхний…………………………..		4,5 0,2 4,3 4,7	350 20 330 370
Коэффициент ………… Шаг при ……………….		1,2 0,1	0,8 5
Номер опыта	Вид испытания
		мм				н∙с/кг
1 2 3 4 5 6	Начальная точка………….... Мысленный опыт………….. Реализованный…………….. Мысленный………………... Реализованный ……………. Реализованный…………….	4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2		370 375 380 385 390 395		– – 2760 – 2920 3000	– – 2620 – 2710 2640

опытами. При подсчете предсказанных значений натуральные значения переводились в кодированные по формуле. Как видно из табл. 2.11, переход от условий испытаний № 5 к условиям испытания № 6 не обеспечивает при­ращения удельной тяги. Далее в точке (рис. 3.2) была проведена контрольная серия из четырех испытаний, которая под­твердила, что дальнейшие вариации и не ведут к увеличению .

Симплексный метод заключается в том, что испыта­ния проводятся в точках факторного пространства, соответствую­щих вершинам симплексов. Под -мерным симплексом подразуме­вают выпуклую геометрическую фигуру, имеющую вершину, соединенные прямыми отрезками-ребрами. Одномерным симплек­сом будет отрезок прямой, двумерным – плоский треугольник, трехмерным – тетраэдр и т. д. При планировании испытаний обыч­но используют правильные симплексы, у которых вершины нахо­дятся друг от друга на одинаковом расстоянии. В отличие от кру­того восхождения, при использовании симплексного метода про­цесс изучения поверхности отклика совмещается с движением к экстремуму. Схема поиска экстремума симплекс-методом при показана на рис. 3.2. Сначала проводится серия испытаний в вер­шинах правильного -мерного симплекса (точки ) с целью выявить точку, характеризующую условия, при которых получают­ся худшие результаты. Следующую серию испытаний проводят в вершинах нового симплекса, который получают заменой точки, со­ответствующей худшему результату (точка ), ее зеркальным отоб­ражением. Тем самым достигается смещение центра тяжести симп­лекса в направлении экстремума. В дальнейшем процедура повторяется, и образуется последовательность симплексов, перемещаю­щихся в факторном пространстве в направлении к экстремуму. На близость экстремума указывает начинающееся вращение симплек­са вокруг одной из его вершин.

Шаговое движение к экстремуму продолжается до тех пор, пока будет достигнута «почти стационарная область», которая не может быть описана линейной моделью, и где значимы совместные (квад­ратичные) эффекты воздействия.

Близость «почти стационарной области» можно установить, если провести серию испытаний в центре плана и определить зна­чение выходного параметра . Вычисляемое для линейной модели значение при реализации ПФП или ДФП в «почти стационар­ной области» является совместной оценкой для свободного члена и суммы квадратов членов. Следовательно, разность дает представление о кривизне поверхности отклика.

«Почти стационарную область» в большинстве случаев с при­емлемой точностью можно описать уравнением второго порядка

. (3.2.18)

Поскольку для отыскания раздельных оценок параметров чис­ло уровней должно быть на единицу больше степени полинома, число уровней должно быть не менее трех. Однако применение ПФП типа приведет к резкому возрастанию количества испы­таний. Для сокращения можно использовать центральные ком­позиционные планы (ЦКП). Ядро ЦКП составляют ПФП или ДФП: ПФП, если число факторов , и ДФП при . Это приводит к тому, что если после реализации ПФП (ДФП) гипо­теза о линейности модели не подтвердилась, нет необходимости проводить испытания заново. Для получения модели второго по­рядка достаточно добавить к ПФП (ДФП) несколько специаль­ным образом подобранных точек, в которых и провести дополни­тельную серию испытаний.

Пусть для получения линейной модели реализован ПФП . Со­гласно рис. 3.1,б экспериментальные точки лежат в вершинах ку­ба. Если линейная модель неадекватна, то в план включается так называемых «звездных точек» с координатами , расположенных на сфере диаметром (рис. 3.3). Таким образом, каждая из точек плана лежит на координатных осях на расстоя­нии от центра плана, называемым звездным плечом . Центром плана является центральная точка прямоугольника, если число факторов , куба при , гиперкуба, когда . Наличие звездных точек, собственно, и задает центральный композиционный план.

Представление о положении звездных точек в факторном про­странстве дают следующие примеры: при и ядре плана, об­разованном ПФП , величина звездного плеча ; если , а в ядре реализован ПФП , то ; при и ПФП . Общее число испытаний при реализации ЦКП

,

где – ядро плана, – число звездных точек; – количество испытаний, проводимых в центре плана.

Рис. 3.3. «Звездные точки» с координатами

Пример ЦКП, в котором сохранено свойство ортогональности, приведен в табл. 2.12. В этом плане , , .

Таблица 2.12

Номер опыта				Номер опыта
1	–	–	–	9		0	0
2	–	+	–	10		0	0
3	+	–	–	11	0		0
4	+	+	–	12	0		0
5	–	–	+	13	0	0
6	–	+	+	14	0	0
7	+	–	+	15	0	0	0
8	+	+	+

Поскольку в ЦКП ортогональность обеспечивается, оценки ко­эффициентов получаются независимо. Однако дисперсии , как видно из приводимой расчетной зависимости, неодинаковы для раз­ных коэффициентов:

; (3.2.19)

; (3.2.20)

При реализации такого плана, как видно из табл. 2.12, , в то время как для ПФП .

Адекватная модель второго порядка может использоваться для нахождения оптимального значения факторов (в частном случае оптимальных конструктивных параметров).

Необходимо отметить, что кроме рассмотренных известно большое количество других методов оптимального планирования испытаний, развитых в специальной дисциплине — теории плани­рования эксперимента. К настоящему времени накоплен значитель­ный опыт их использования при испытании составных частей технических систем, главным образом, в про­цессе опытно-конструкторских работ; известны пути приложения методов для оптимизации испытаний отдельных элементов образцов техники. Во всех случаях условием успешного планирования является правильное сочетание цели испытаний с возможностями выбранного метода и учет характера самого изучаемого явления.