- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Часть 1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах
- •1.1. Понятия системного подхода и большой системы
- •1.2. Эффективность больших систем
- •1.3. Управление в больших системах
- •1.4. Структура систем управления
- •1.5. Основные понятия системного моделирования
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний
- •2.1. Принципы построения математических моделей
- •2.2. Требования, предъявляемые к математическим моделям
- •2.3. Моделирование больших систем методом статистических испытаний. Сущность метода статистических испытаний. Точность метода
- •Вопрос 1.
- •2.3.1. Формирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения
- •2.3.2. Приближенные методы формирования случайных величин с заданным законом распределения вероятностей
- •2.3.3. Моделирование системы массового обслуживания
- •1,07 1,09 1,14 Моделируемое время t
- •2.3.4. Получение наблюдений при моделировании
- •Прикладные задачи имитационного моделирования
- •Ориентированный процесс случайного блуждания как метод прогнозирования
- •2.4.2. Модифицированный имитационным моделированием метод экспоненциального сглаживания
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний
- •3.1. Оценка качества моделей
- •3.1.1. Методы повышения качества оценок показателей эффективности
- •3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.3. Активные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.1.4. Косвенные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
- •3.2. Планирование имитационных экспериментов
- •3.2.1. Общая схема испытаний
- •3.2.2. Полные факторные планы испытаний
- •3.2.3. Дробные факторные планы испытаний. Планирование испытаний
- •3.2.4. Анализ результатов испытаний
- •3.2.5. Оптимальные планы
- •Методы принятия решений по результатам испытаний
- •Общая процедура принятия решений
- •3.3.2. Проверка гипотез о параметрах
- •Принятие решений о стабильности условий испытаний
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Предметный указатель
- •Оглавление
- •Глава I. Системное моделирование – инструмент управления в больших системах 6
- •Глава II. Моделирование систем методом статистических испытаний 43
- •Глава III. Оценка качества моделей и планирование статистических испытаний 147
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
3.1.2. Пассивные методы повышения качества оценивания показателя эффективности
Пусть в имитационной модели операции нужно учесть случайных факторов . Поскольку для моделирования каждого из значений факторов используют одно или несколько значений случайных чисел, имеющих равномерное распределение на интервале [0,1], то справедлива запись:
,
где – оператор преобразования;
– множество значений случайных факторов, учитываемых при моделировании;
– множество значений случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале ;
, – множество значений -го случайного фактора;
– множество значений -й случайной величины.
Множество представляет собой -мерное пространство векторов со случайными координатами и называется выборочным пространством.
Поскольку имитационная модель при каждой конкретной стратегии управления каждому вектору значений случайных факторов ставит в соответствие единственное значение выходной характеристики , то можно утверждать, что каждой точке выборочного пространства также соответствует единственное значение . Для рассматриваемых ниже методов понижения дисперсии требуется, чтобы корреляция между каждым случайным вектором , моделируемым в эксперименте, и выходными характеристиками модели была положительной и, по возможности, большой, то есть большим значениям переменных должны соответствовать большие значения характеристик .
Это условие в имитационных моделях легко реализуемо, если учесть, что законы распределения случайных величин и – тождественны, где – случайное число, имеющее равномерное распределение на интервале .
Наличие свободы выбора формы выборочного пространства является одним из основных отличий машинного эксперимента от натурного (эксперимента с реальной системой).
Метод регрессионной выборки. Введем случайную величину , заданную на следующим образом:
, (3.1.5)
где вспомогательная переменная , определенная на , является случайной величиной, зависящей от -мерного вектора параметров .
Математическое ожидание случайной величины должно быть известно. Из (3.1.5) следует, что , а дисперсия
,
где – след корреляционной матрицы между переменными и . Если вспомогательную переменную ввести так, чтобы выполнялось условие , то для оценки величины целесообразно использовать .
Для того чтобы дисперсия , определяющая точность вычисления , была меньше , необходимо, чтобы был положительным числом, желательно большим, то есть корреляция между и должна быть близка .
Минимум дисперсии обеспечивается в том случае, если является регрессией на (отсюда и название метода), то есть, если вектор минимизирует сумму квадратов разностей величин и , , где и – элементы соответствующих выборок;
– объем каждой из выборок. Компоненты вектора параметров находятся известными способами простой (если – скаляр) или множественной ( – вектор) регрессии. Если вектор параметров и
(3.1.6)
вычисляют с помощью одной и той же выборки, то является смещенной оценкой для из-за наличия корреляции. Смещение можно практически исключить, если разделить выборку на несколько групп (в простейшем случае –на две). Для каждой -й группы отдельно вычисляют вектор параметров и с использованием среднего значения:
, (3.1.7)
где D – число групп.
Внутри каждой группы величины и независимы, a – несмещенные оценки. Искомое выборочное среднее определяется осреднением полученных частных оценок:
. (3.1.8)
Дисперсия величины определенная таким способом, будет несколько выше истинного значения вследствие остаточной коррелированности между группами данных, но ниже, чем .
Метод компенсации. Сущность метода компенсации заключается в вычислении как среднего двух оценок и , имеющих сильную отрицательную корреляцию. Дисперсия оценки имеет вид
. (3.1.9)
Вследствие отрицательной корреляции эта величина существенно меньше, чем при использовании независимых оценок и .
Оценки и получают по отдельным выборочным подпространствам
, которые в простейшем случае связаны между собой следующим образом:
(3.1.10)
где – -мерный единичный вектор.
Возможны и другие способы формирования пространств и . Единственным требованием к ним является обеспечение отрицательной (по возможности, сильной) корреляции между оценками и . В большинстве практически важных случаев дисперсия оценки при использовании метода компенсации уменьшается в 2–10 раз что делает его одним из наиболее эффективных МПД.
Широко применяется также метод испытаний с дополняющей переменной [4], вводимой на таким образом, чтобы корреляция между ней и оцениваемой переменной была близка к .
Преимущества пассивных методов понижения дисперсии по сравнению с активными методами – возможность их применения уже после того, как выборка значений сформирована.
Эти методы осуществляются в два этапа: сначала формируют выборочное пространство и выборку, а затем вычисляют оценки выборочного среднего. Эти этапы формально независимы, за исключением того, что при формировании пространства необходимо предусмотреть включение в него значений, позволяющих вычислять вспомогательные переменные или формировать взаимокомпенсирующие выборочные подпространства и .
Важным достоинством пассивных методов оценивания является возможность их применения без существенных изменений для любых статистических или имитационных моделей.