3.1.1. Методы повышения качества оценок показателей эффективности

При имитационных исследованиях часто возникает необходимость оценки средних значений выходных характеристик имитационной модели (средних значений результата опера­ции).

Средние значения могут представ­лять самостоятельный интерес, например, при изучении поведения моде­лируемой системы в различных условиях, при оценке влияния тех или иных факторов на исход операции и т. д. Значения можно также исполь­зовать для вычисления значения пока­зателя эффективности исследуемой опе­рации.

Во всех подобных случаях повыше­ние точности оценивания (вычисления) средних значений ведет к повышению качества имитационного исследования в широком смысле. Однако особый интерес представляют случаи, когда применяют для вычисления оценок показателя эффективности , так как именно эти оценки являются основой для принятия решений в области создания и совершенствования систем и управления операциями.

С этой точки зрения методы повыше­ния качества (в частном случае точности) вычисления средних яв­ляются одновременно и методами повышения качества оценивания пока­зателей эффективности. Ниже рассмотрены наиболее употребительные из этих методов.

В качестве оценок средних обычно используют выборочные средние, ко­торые определяются по конечной вы­борке значений из генеральной совокупности . В силу случайности выборки выборочные средние не равны в точности истинным средним (математическим ожиданиям). Однако чем больше объем выборки (то есть чем больше число прогонов имитационной модели), тем выше вероятность того, что выборочные средние будут близки к истинным средним.

Объем выборки, необходимый для вычисления выборочного среднего с за­данной точностью, зависит от вида рас­пределения случайной величины , а также от того, коррелированны или не коррелированны между собой слу­чайные элементы выборки.

При проведении экспериментов со статическими имитационными моделями элементы выборки не зависят от времени (обычно относятся к одному и тому же моменту времени) и оказы­ваются некоррелированными, если для моделирования случайных факторов в рассматриваемой операции исполь­зуются генераторы случайных чисел, не связанные между собой и выдающие некоррелированные последовательно­сти чисел.

При проведении экспериментов с ди­намическими имитационными моделя­ми в силу внутренних свойств иссле­дуемой системы, коррелированности воздействий, представляющих собой случайные функции времени, и других причин выходные характеристики мо­дели (элементы выборки), представляющие собой, как правило, значения одной и той же (в общем случае, век­торной) случайной функции времени, взятые для разных моментов времени, оказываются коррелированными.

Если случайные значения выходных характеристик имитационной модели некоррелированы и распределены оди­наково (последнее допущение справед­ливо в тех случаях, когда законы рас­пределения учитываемых в исследуе­мой операции случайных факторов не изменяются от прогона к прогону), то в силу центральной предельной теоремы (см. т. 2) величину (выбороч­ное среднее) можно считать нормально распределенной. В этом случае число прогонов имитационной модели, необходимое для того, чтобы истинное среднее (скаляр) с вероятностью лежало в интервале , определяется следующим образом:

, (3.1.1)

где – квантиль порядка стан­дартного нормального распределения;

– дисперсия случайной величины ;

– доверительный интервал. Если значение дисперсии до начала имитационного эксперимента неизвестно, целесообразно выполнить пробную серию из прогонов и вы­числить на ее основе выборочную дисперсию

, (3.1.2)

где – значение выходной характеристики модели в результате -го прогона ;

– выбороч­ное среднее, вычисленное по резуль­татам пробных прогонов.

Оценку подставляют в (3.1.1) вместо и получают предваритель­ную оценку необходимого числа прогонов . После этого выполняют оставшиеся прогонов, перио­дически уточняя оценку (3.1.2) и необ­ходимое число прогонов. Описанный способ определения необходимого объе­ма выборки при неизвестной до начала эксперимента дисперсии называется по­следовательным.

Если элемент выборки – векторная величина, то есть

,

оценку необходимого числа прогонов выполняют отдельно для каждой из компонент вектора . Наибольшее из полученных значений принимают в качестве оконча­тельного числа прогонов.

Если элементы выборки коррелированы между собой, то применение опи­санного способа определения числа прогонов модели основанного на независимости результатов экспери­мента, занижает оценку дисперсии и приводит к использованию меньших значений , чем необходимо для обес­печения заданной точности.

В этом случае целесообразно исполь­зовать один из следующих методов определения оценок математического ожидания.

1. Выборку разбивают на интервалы, превышающие по длине интервалы «сильной» зависимости данных; оценку дисперсии проводят для каждого та­кого интервала отдельно, а полученные значения , , где – число интервалов, усредняются; недостаток метода – невозможность до начала эксперимента достаточно точно определить число и длину интервалов.

2. Выборку формируют как запись достаточно большого числа реализаций процесса функционирования ТС; сред­нее и дисперсию вычисляют по совокупности данных в каждый момент времени, а не по совокупности данных вдоль одной траектории; полученные оценки затем усредняют по времени; для определения потребного числа «реализаций» используют формулы (9.1) и (9.2); метод обеспечивает высокую точность оценивания, но его реализа­ция требует больших затрат машин­ного времени.

3. Необходимое число прогонов имитационной модели (количество элементов выборки) определяют по приближенной формуле, учитывающей автокорреляцию данных:

,

где – определяемые по результа­там дополнительных (пробных) экспе­риментов выборочные коэффициенты автокорреляции с шагом ;

; (3.1.4)

где – выборочные значения выходной характеристики модели в дополнительной серии из прогонов;

– глубина учета автокорреляции.

Для большинства приложений до­статочно принимать . Используемые в (3.1.3) и (3.1.4) оценки выбороч­ного среднего и выборочной дис­персии должны определяться по результатам отдельных дополнительных экспериментов.

В случае векторных величин тре­тий метод применяют отдельно для каждой из компонент вектора .

Наиболее точные оценки могут быть получены с помощью методов спект­рального анализа [5].

Рассмотренные методы определения числа прогонов имитационной модели (количества элементов выборки) от­носятся к группе методов простой случайной выборки (ПСВ). Основной недостаток ПСВ – медленная сходи­мость выборочных средних к истинным средним с ростом объема выборки , пропорциональная .

Медленность сходимости при высо­ких требованиях к точности оценива­ния средних приводит к необходимости применения методов уменьшения оши­бок (повышения качества оценивания), не требующих увеличения объема вы­борки. Такие методы, получившие наз­вание методов понижения дисперсии (МПД), учитывают информацию о ста­тистических свойствах моделируемых воздействий на ТС, об особенностях структуры и динамики исследуемой ТС, о распределениях выходных ха­рактеристик модели.

Все методы, использующие при вы­числении выборочных средних дополнительную информацию, делят на три группы: методы, применяемые после того, как выборка некоторого объема уже сформирована (пассивные методы оценивания); методы, предусматриваю­щие формирование выборки специаль­ным образом (активные методы оцени­вания); методы, в которых для полу­чения оценок средних используются значения и реализации некоторых вспомогательных величин и процес­сов, косвенно связанных с выходными характеристиками модели ТС (косвен­ные методы оценивания).