3.2.2. Полные факторные планы испытаний

Планирование по схеме полного факторного плана предусмат­ривает реализацию всех возможных комбинаций на каждом из вы­бранных уровней. Общее количество испытаний , где – количество уровней, – число факторов. , если при каждом сочетании факторов проводится только одно испытание. Если ис­пытания проводятся при двух уровнях факторов , то реали­зуется план , при и т. д. Формирование ПФП включает два этапа.

На первом этапе выбирается совокупность факторов , удовлетворяющих сформулированным требова­ниям, после чего определяется локальная область факторного про­странства, в которой намечается проведение испытаний. При пла­нировании по схеме эта область устанавливается посредством задания основного уровня и интервала варьирования. Основным уровнем (центром плана) называют многомерную точку в факторном пространстве. В зависимости от целей испытаний координаты могут соответствовать поминаль­ным значениям параметров или выбираться в центре области их изменения, подлежащей изучению. Интервал варьирования устанавливают симметрично относительно основного уровня и опреде­ляют для каждого из факторов по формуле

, (3.2.2)

где , – максимальные и минимальные значения каждо­го из факторов (определяющих фактор параметров).

Интервал варьирования выбирается из прогнозируемых значе­ний выходного параметра и условий технической осуществимости вариаций входных воздействий с учетом затрат на выполнение работ.

Рис. 3.1. Схемы ПФП типа и

ПФП составляют в виде матрицы планирования, используя ко­дированную (безразмерную) систему координат. Переход к безраз­мерной системе координат осуществляется по формулам

; . (3.2.3)

В кодированной системе верхний уровень изменения любого фактора равен , нижний , а координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. На рис. 3.1 изображены схемы ПФП типа и – соответственно прямоугольник и куб. Матрица ПФП , приведена в табл. 2.2, а (обозначение 1 в таблице опущено), где столбцы (вектор-столбцы) показывают, какие значения принимает каждый из факторов в очередном испытании, а строки (вектор-строки) характеризуют режим каждого отдельного испытания. Так, например, при изуче­нии влияния условий подачи компонентов топлива на выходные параметры ЖРД первый опыт проводится при минимальных рас­ходах горючего и окислителя, четвертый – при максимальных, второй – при максимальной подаче горючего и минимальной окислителя и т. д.

Таблица 2.2

Номер опыта					Номер опыта
1	+	–	–		1	+	–	–	+
2	+	–	+		2	+	–	+	–
3	+	+	–		3	+	+	–	–
4	+	+	+		4	+	+	+	+

Первый столбец используется только для выполнения расче­тов ( – фиктивная переменная). В последнем столбце записы­ваются результаты испытания.

Порядок перехода от плана к плану показан в табл. 2.3. Аналогично методом «перевала» можно перейти к пла­нам с большим числом факторов.

Таблица 2.3

Номер опыта						Номер опыта
1	+	–	–	–		5	+	–	–	+
2	+	–	+	–		6	+	–	+	+
3	+	+	–	–		7	+	+	–	+
4	+	+	+	–		8	+	+	+	+

Приведенные в табл. 2.2 и 2.3 матрицы планирования обладают свойствами ортогональности, симметричности и нормировки.

Свойство симметричности относительно центра опыта заключается в том, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбцов каждого из факторов равна нулю:

; ; . (3.2.4)

Условие нормировки подтверждается равенством сум­мы квадратов элементов каждого столбца числу опытов:

; . (3.2.5)

Свойство ортогональности определяется равенством нулю произведений любых двух вектор-столбцов:

; . (3.2.6)

Предполагается, что при перемножении элементов с одноимен­ными знаками получаем , с разноименными .

Свойство ортогональности позволяет резко уменьшить трудо­емкость вычислений коэффициентов регрессии, так как матрица нормальных уравнений становится диагональной, причем ее диагональные элементы равны числу испытаний , заданных мат­рицей ПФП.

Воспользуемся матрицей планирования (табл. 2.2.а) для по­лучения уравнения регрессии вида

. (3.2.7)

При вычислении оценок коэффициентов регрессии по формуле последовательно получим

Отсюда

; ;

; .

Таким образом, каждый из коэффициентов вычисляется не­зависимо и по простой формуле, которая в общем случае имеет вид

. (3.2.8)

Поскольку все диагональные элементы матрицы ошибок равны между собой, каждая из оценок получена с одинаковой (и минимальной) дисперсией

, (3.2.9)

где – ошибка опыта.

Рассмотренные ПФП являются оптимальными в том смысле, что при их реализации для данного числа испытаний определи­тель матрицы ошибок минимален. Геометрически это означает, что сведен к минимуму объем эллипсоида рассеивания оценок параметров. Важным свойством полученных планов яв­ляется также ротатабельность, которая заключается в том, что точность предсказания значений выходной характеристи­ки одинакова на равных расстояниях от центра плана и не зависит от направления.

План типа позволяет получить модель в виде уравнения вто­рого порядка

Для вычисления коэффициента , характеризующего совмест­ное воздействие факторов и вводится дополнительный век­тор-столбец (табл. 2.2,б), элементы которого определяют, пе­ремножая попарно элементы столбцов и .

Расширенная матрица ПФП , обеспечивающая получение мо­дели в виде более сложного полинома

представлена в табл. 2.4. В нижней строке таблицы приведены вы­численные по формуле (3.2.8) оценки коэффициентов . Значе­ния содержатся в последнем столбце.

Например,

;

.

Таблица 2.4

Номер опыта
1	+	–	–	–	+	+	+	–	8
2	+	–	+	–	–	+	–	+	4
3	+	+	–	–	–	–	+	+	5
4	+	+	+	–	+	–	–	–	10
5	+	–	–	+	+	+	–	+	6
6	+	–	+	+	–	–	+	–	8
7	+	+	–	+	–	–	–	–	7
8	+	+	+	+	+	+	+	+	12
	7,5	1	1	0,625	1,5	–2	0,75	-0,75