Преобразование Гильберта

Для выделения амплитуды п. фазы произвольный сигнал s(t) представляется как вещественная часть комплексного сигнала (он называется аналитическим сигналом):

.

Вещественная часть аналитического сигнала, естественно, должна совпадать с исходным сигналом s(t). Мнимая же часть называется сопряженным сигна­лим пли квадратурным дополнением:

Сопряженный сигнал получается из исходного с помощью преобразования Гиль-берта. Вычисляется преобразование Гильберта следующим образом:

(1.26)

Данный интеграл представляет собой свертку сигнала s(t) и функции 1/(πt). Это означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной систе­мой с постоянными параметрами (такие системы будут описаны в главе 2; забе­гая вперед, скажем, что система, осуществляющая преобразование Гильберта, является физически нереализуемой, поскольку ее импульсная характеристика имеет бесконечную протяженность в обоих направлениях временной оси). Из этого, в свою очередь, следует, что мы можем определить частотную характери­стики преобразования Гильберта:

(1.27)

Итак, АЧХ преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой час­тоты, то есть преобразование Гильберта не меняет амплитудных соотношений в спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляющую. Фазы всех спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на 90^е. в области отрицательных частот — увеличиваются на 90°.

Таким образом, устройство, осуществляющее преобразование Гильберта, должно представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазо­вый сдвиг, равный 90°.

Очевидно, что обратное преобразование Гильберта должно вносит!) такой же фа­зовый сдвиг, по с обратным знаком, опять же при сохранении амплитудных со­отношений в спектре преобразуемого сигнала. Математически это будет выгля­деть так:

Сравнение это]] формулы с коэффициентом передачи прямого преобразования

Гильберта (1.27) показывает, что

Следовательно, формулы обратного и прямого преобразований Гильберта разли­чаются лишь знаком:

Спектр аналитического сигнала

Ранее уже было сказано, что аналитический сигнал получается путем добав­ления к вещественному сигналу s(t) мнимой части в виде его преобразования Гильберта:

Теперь вычислим спектр аналитического сигнала, учитывая, что преобразование Гильберта является линейным и его коэффициент передачи определяется формулой (1.27):

Полученный результат довольно любопытен. В области положительных частот спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом допол­нительного 90-градусного (разового сдвига, вносимого множителем j) складыва­ются, давая удвоенный результат. В области же отрицательных частот эти спек­тры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. В результате спектр аналитического сигнала оказывается односторонним (рис. 1.28, а, 6). Итак, чтобы для произвольного сигнала определить амплитудную огибающую и фазовую функцию, необходимо прежде всего сформировать аналитический сиг­нал, получив его мнимую часть с помощью преобразования Гильберта. Далее ам­плитудная огибающая находится как модуль аналитического сигнала:

Полная фаза представляет собой аргумент комплексного аналитического сиг­нала:

Чтобы получить начальную фазу сигнала, нужно выделить из полной фазы ли­нейное слагаемое ω₀t. Для этого, в свою очередь, нужно знать значение нейтраль­ной частоты ω₀. После этого можно будет получить начальную фазу и комплексную огибающую:

Спектр комплексной огибающей представляет собой сдвинутый на ω₀ спектр аналитического сигнала:

В общем случае спектр комплексной, огибающей не является симметричным от­носительно нулевой частоты (рис. 1.28, в).

Выбор центральной частоты ω₀, вообще говоря, является произвольным. Для узкополосных сигналов существует «разумное» значение ω₀, при использовании которого оказывается наиболее простой аналитическая запись комплексной оги­бающей. Например, для гармонического сигнала

аналитический сигнал имеет вид

Амплитудная огибающая равна А, полная фаза — Ω/ +φ. В общем случае, произвольное значение «средней» частоты ω₀, мы получаем начальную фазу

и комплексную огибающую

Рис. 1.28. Амплитудные спектры вещественного сигнала (а),

соответствующего ему аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в)

Если выбранная «средняя» частота ω₀ будет совпадать с частотой гармоническо­го сигнала (ω₀ = Ω), комплексная огибающая станет константой:

Метод замены исходных функций их комплексными огибающими для анализа Прохождения сигналов через различные цепи называется методом низкочастотного эквивалента. При этом принципиально то, что все комплексные огибающие должны вычисляться относительно одной и той же центральной частоты ω₀, далее если ее значение для некоторых сигналов будет выглядеть «неестественным».

В целом же следует помнить, что понятие комплексной огибающей имеет смысл только при указании частоты ω₀ относительно которой эта комплексная огибаю­щая вычислена.