Вероятностные характеристики случайных процессов

ПустьX(t) — случайный процесс, заданный ансамблем реализаций . Выбрав произвольный момент времени t₁, зафиксируем значения, при­нимаемые всеми реализациями: (см. рис. 1.29). Сово­купность этих значений образует одномерное сечение случайного процесса и пред­ставляет собой случайную величину X(t₁). Напомним кратко основные характе­ристики случайных величин, отметив при этом, что для одномерных сечений случайных процессов они в общем случае зависят от выбранного момента време­ни t₁.

Функциональные характеристики

Функция распределения вероятности (cumulative distribution function, CDF), обозначаемая как F(x, t₁), равна вероятности того, что в момент времени t₁ значе­ние случайного процесса не превосходит x:

F(x, t₁)=P(X(t₁) ≤ x).

F(x, t₁) является неубывающей функцией, значения которой лежат в диапазоне . Для предельных значений x выполняются следующие соотноше­ния: F(-∞, t₁) = 0 и F(∞, t₁) = 1.

Вероятность попадания значения случайного процесса в интервал (a, b) равна

разности значений функции распределения, на концах этого интервала:

Р(а < X(t₁) ≤ b) = F(b, t₁) - F(a, t₁).

Одномерная плотность вероятности (probability density function, PDF) обозна­чается p(x, t₁) и представляет собой производную от функции распределения:

Произведение р(х,t₁) dx равно вероятности попадания значения случайного про­цесса X(t₁) в бесконечно малый интервал шириной dx в окрестности х:

откуда следует, что плотность вероятности является неотрицательной функцией: р(х, t₁) ≥ 0. Чтобы рассчитать вероятность попадания значения Х(t₁) в произ­вольный интервал [a, b], необходимо вычислить следующий интеграл:

Гак как случайная величина обязательно принимает какое-нибудь значение, долж­но выполняться условие нормировки:

(1.29)

Зная плотность вероятности, можно рассчитать и функцию распределения:

(1.30)

Числовые характеристики

Знание одномерной плотности вероятности р(х₁, t₁) позволяет произвести стати­стическое усреднение как самой величины X(t₁), так и любой функции от нее. Под статистическим усреднением (ensemble averaging) подразумевается усред­нение по множеству (по ансамблю реализаций) в каком-либо сечении процесса, то есть в фиксированный момент времени.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие пара­метры случайного процесса:

• математическое ожидание (mean value), которое служит теоретической оцен­кой среднего взвешенного значения случайного процесса в момент времени t:

(1.31)

ЗАМЕЧАНИЕ

Во многих практических задачах приходится вычислять математическое ожидание неко­торой функции f от случайной величины х, имеющей плотность вероятности р_х(х). Такое вычисление выполняется по следующей несложной формуле:

(1.32)

Формула для математического ожидания (1.31) является частным случаем (1.32) при f(x) = x.

• дисперсия (variance), характеризующая среднюю мощность отклонений слу­чайного процесса от его среднего значения m_x(t), называемых флуктуациями (fluctuation):

(1.33)

• среднее квадратическое отклонение (standard deviation), представляющее со­бой квадратный корень из дисперсии и служащее амплитудной мерой разбро­са значений случайного процесса в момент времени с относительно математи­ческого ожидания:

(1.34)

ЗАМЕЧАНИЕ

Дисперсия случайной величины X часто обозначается как .