Примеры расчета преобразования Фурье

В этом разделе будут рассмотрены примеры расчета преобразования Фурье для некоторых сигналов, часто встречающихся при решении различных задач.

Прямоугольный импульс

Начнем с прямоугольного импульса, центрированного относительно начала от­счета времени (рис. 1.10):

_.

Рис. 1.10. Прямоугольный импульс

Вычисляем спектральную функцию:

Как видите, спектр представляет собой функцию вида sin(x)/x (рис. 1.11). Ам­плитудный спектр имеет лепестковый характер, и ширина лепестков равна 2π/τ, то есть обратно пропорциональна длительности импульса. Значение спектраль­ной функции на нулевой частоте равно площади импульса — Аτ. Спектральная функция является вещественной, поэтому фазовый спектр принимает лишь два значения — 0 и π, в зависимости от знака функции sm(x)/x Значения фазы π и -π неразличимы, разные знаки для фазового спектра при ω > 0 и ω < 0 исполь­зованы лишь с целью представить его в виде нечетной функции.

Теперь посмотрим, что изменится после сдвига импульса во времени. Пусть им­пульс начинается в пулевой момент времени (рис. 1.12):

(1.13)

Рис. 1.11. Амплитудный (слева) и фазовый (справа) спектры прямоугольного импульса

Рис. 1.12. Прямоугольный импульс, задержанный во времени

Вычисляем преобразование Фурье и строим графики амплитудного и фазового спектров (рис. 1.13):

(1.14)

Рис. 1.13. Амплитудный (слева) и фазовый (справа) спектры задержанного

прямоугольного импульса

ЗАМЕЧАНИЕ

Этот пример демонстрирует проявление свойства преобразования Фурье, касающегося

изменения спектра при сдвиге сигнала во времени. Это свойство в общем виде будет рас­смотрено далее, в разделе «Свойства преобразования Фурье».

Из формулы (1.14) И графиков рис. 1.13 видно, что после сдвига импульса во времени его амплитудный спектр остался прежним, а фазовый приобрел сдвиг, линейно зависящий от частоты,

Строго говоря, спектр данного сигнала простирается до бесконечности, лишь по­степенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра. Как видно из графиков, спектр имеет лепестковый характер и ширина главного лепе­стка равна 2π/τ. При лепестковом характере спектра за эффективную ширину спектра можно принять ширину главного лепестка. Из графиков видно, что она составляет 2 π/τ. то есть обратно пропорциональна длительности импульса. Это общее соотношение: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Произведение же эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра (оно назы­вается базой сигнала) остается равным некоторой константе, зависящей от кон­кретного способа определения этих параметров. В пашем примере это произве­дение, очевидно, равно 2 π:. Вообще, для сигналов простой формы (не имеющих сложной внутриимпульсной структуры) величина базы независимо от способа определения эффективных значений длительности и ширины спектра составля­ет несколько единиц.

Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются соотношению неопре­деленности, гласящему, что произведение этих параметров (база сигнала) не мо­жет быть меньше единицы. Ограничений максимального значения базы сигнала не существует. Отсюда следует, что можно сформировать сигнал большой дли­тельности, одновременно имеющий и широкий спектр (такие сигналы называют широкополосными, или сложными, или сигналами с большой базой). А вот корот­кий сигнал с узким спектром, согласно соотношению неопределенности, сущест­вовать не может.