Эргодические случайные процессы

Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при исполь­зовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим (ergodic), если при определении любых его статистических характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквива­лентно усреднению по времени (time averaging) одной, теоретически бесконечно длинной, реализации.

Обозначив усреднение по времени угловыми скобками, можно записать следую­щие выражения, позволяющие вычислить важнейшие статистические характе­ристики эргодического случайного процесса по его единственной реализации х(t) (еще раз обращаем внимание на то, что эргодический случайный процесс обязательно является и стационарным, но не наоборот):

Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия имеет наглядный физический смысл мощности флуктуационной составляющей.

Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом временного сдвига τ:

(1.44)

При экспериментальном исследовании случайных процессов доступно, как вило, наблюдение одной реализации сигнала, а не всего ансамбля. Если чаемый процесс является эргодическим, то его реализация достаточной длины является «типичным» представителем статистического ансамбля. Согласно веденным выше формулам по этой единственной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодического случайного процесса. На практике интегрирование выполняется, естестве не в бесконечных пределах, а на конечном интервале, длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов измерения.

В качестве примера проверим эргодичность гармонического процесса со случной начальной фазой (стационарность такого процесса была проверена ранее). Его корреляционная функция (1.43) с ростом τ не стремится к нулю, так условие (1.44) не выполняется. Однако это лишь достаточное, но не необходимое условие, поэтому его невыполнение еще не означает неэргодичности процесса. Проверим эргодичность согласно определению, вычислив усредненные времени параметры:

ЗАМЕЧАНИЕ

Тот факт, что реализации рассматриваемого процесса являются периодическими функ­циями, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному (в преде­ле) промежутку времени усреднением по одному периоду, равному в данном случае 2π/ω₀.

Итак, параметры, вычисленные усреднением по времени, совпали с параметра­ми, полученными ранее путем статистического усреднения, Следовательно, гар­монический случайный процесс со случайной начальной фазой является эргодическим.

ЗАМЕЧАНИЕ

Здесь также следует отметить, что любой случайный процесс, реализации которого яв­ляются периодическими функциями, идентичными по форме и различающимися лишь равномерно распределенной в пределах периода «начальной фазой», будет не только ста­ционарным, но и эргодическим.