Сигнал вида sin(X)/X

Следующий пример призван продемонстрировать дуальность преобразования Фурье. Если сравнить формулы прямого и обратного преобразования Фурье, можно заметить, что они отличаются друг от друга лишь знаком в показателе комплексной экспоненты и множителем перед интегралом. Отсюда следует, что если четной функции времени f(t) соответствует спектральная функция g(ω) (она будет также четной), то функции времени g(t) будет соответствовать спек­тральная функция 2πf(ω). Проверим это на конкретном примере. В начале этого раздела мы выяснили, что прямоугольному импульсу соответствует спектраль­ная функция вида sin(ω)/ ω. Теперь же рассмотрим временной сигнал вида sin(t)/t и проверим, будет ли его спектральная функция прямоугольной. Итак, задаем временной сигнал (используем параметр Г для обозначения полу­периода функции sin) (рис. 1.24):

Рассчитываем спектр и строим график (рис. 1.25):

Рис. 1.24. Сигнал вида sin(at)/(at)

Рис. 1.25. Сигнал вида sin(at)/(at) имеет прямоугольный спектр

Значение каждого из двух получившихся интегралов равно ±п в зависимости от знака множителей (ω ± π/Т). Поэтому результат суммирования интегралов зави­сит от частоты следующим образом:

Как видите, дуальность (симметрия) преобразования Фурье получила наглядное подтверждение.

Сигнал данного вида имеет идеальный низкочастотный спектр — спектральная функция постоянна в некоторой полосе частот, начинающейся от нулевой часто­ты, и равна нулю за пределами этой полосы. Мы вновь встретимся с этим сигна­лом в главе 3 при обсуждении разложения сигналов в ряд Котельникова.

Свойства преобразования Фурье

Под свойствами преобразования Фурье подразумевается взаимное соответствие Трансформаций сигналов и их спектров. Хорошее знание свойств преобразова­ния Фурье позволяет предсказывать примерный (а иногда и точный) вид спектра анализируемого сигнала и таким образом контролировать правдоподобность результата, выдаваемого компьютером.

В этом разделе мы будем рассматривать два абстрактных сигнала, f(t) и g(t), и считать, что их спектральные функции равны F(ω) и G(ω).

Линейность

Преобразование Фурье является линейным интегральным преобразованием. Смысл свойства линейности можно сформулировать так: спектр суммы равен сумме спектров. Говоря математическим языком, линейная комбинация сигналов име­ет спектр в виде такой же (с темп же коэффициентами) линейной комбинации их спектральных функций:

если , то .

Задержка

А теперь посмотрим, как сказывается на спектральной функции задержка сигна­ла во времени. Итак, пусть τ — время задержки:

,

тогда спектральная функция .изменится следующим образом:

Результат показывает, что спектр исходного сигнала оказался умноженным на

комплексную экспоненту вида e^-jωτ. Таким образом, амплитудный спектр сигна­ла не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен 1; к тому же здравый смысл подсказывает, что соотношение между амплитудами спектраль­ных составляющих из-за сдвига сигнала во времени измениться не должно). Фа­зовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -ωτ, линейно зависящее от частоты.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если в результате какого-либо преобразования сигнала его спектр умножившем на некото­рую функцию, не зависящую от преобразуемого сигнала, это означает, что данное преобра­зование может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами. Речь о системах данного класса пойдет в главе 2.