Дифференцирование сигнала

Посмотрим, как влияет на спектр дифференцирование сигнала во временной области. Для этого нам придется воспользоваться определением понятия произ­водной:

.

Применим к этому выражению преобразование Фурье:

.

Спектр производной получается путем умножения исходного сигнала на jω. Таким образом, при дифференцировании низкие частоты ослабляются, а высо­кие усиливаются. Фазовый спектр сигнала сдвигается на 90° для положитель­ных частот и на - 90° для отрицательных.

Множитель jω называют оператором дифференцирования сигнала в частотной области.

Интегрирование сигнала

Интегрирование, как известно, является операцией, обратной дифференцирова­нию. Поэтому, исходя из результатов, полученных в предыдущем разделе, каза­лось бы, можно ожидать следующий результат:

.

Однако все не так просто. Детальный анализ, выполненный, например, в [1], по­казывает, что эта формула справедлива лишь для сигналов, не содержащих по­стоянной составляющей, у которых

В общем же случае результат должен содержать дополнительное слагаемое в виде дельта-функции на нулевой частоте. Множитель перед дельта-функцией пропор­ционален постоянной составляющей сигнала:

(1.15)

Итак, при интегрировании исходного сигнала высокие частоты ослабляются, а низкие усиливаются. Фазовый спектр сигнала смещается па -90^o для положи­тельных частот и на 90° для отрицательных. Множитель 1/( jω) называют опера­тором интегрирования в частотной области.

Спектр свертки сигналов

Свертка сигналов является очень часто используемой в радиотехнике интеграль­ной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала че­рез линейную систему с постоянными параметрами (подробнее это будет обсуж­даться в главе 2):

.

Подвергнем такую конструкцию преобразованию Фурье:

. (1.16)

Полученный результат очень важен, он часто используется на практике: спектр свертки равен произведению спектров.

Спектр произведения сигналов

Дуальность преобразования Фурье и соотношение (1.16), полученное в преды­дущем разделе, позволяют легко предугадать результат. Однако все-таки полу­чим его:

тогда

(1.17)

Как и следовало ожидать, спектр произведения представляет собой свертки спектров. Единственной дополнительной тонкостью является множитель 1/(2π) перед интегралом свертки.

ЗАМЕЧАНИЕ

При выводе соотношения (1.17) мы представили сигнал f(t) с помощью обратного преоб­разования Фурье (1.12) от его спектральной функции.

Умножение сигнала на гармоническую функцию

Умножим исходный сигнал, спектр которого нам известен, на гармоническую функцию:

Посмотрим, что произошло со спектром сигнала:

. (1.18)

Как видите, спектр «раздвоился» — распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня (множитель 1/2), смешенных на ω₀ вправо (ω – ω₀) и влево (ω + ω₀) по оси частот. Кроме того, при каждом слагаемом имеется множитель, учитываю­щий начальную фазу гармонического колебания. С практическим применением этого свойства мы столкнемся в главе 8 при обсуждении свойств сигналов с амп­литудной модуляцией.