Спектральные характеристики случайных процессов

Каждая отдельно взятая реализация случайного процесса представляет собой де­терминированную функцию, и к ней можно применить преобразование Фурье. При этом различные реализации будут, естественно, иметь различные спектры. Нас же интересуют статистически усредненные характеристики случайных про­цессов. Попытаемся найти среднее значение спектральной плотности случайно­го процесса (горизонтальной чертой здесь и далее обозначается операция статистического усреднения по ансамблю реализаций):

Как видите, усредненная спектральная плотность случайного процесса представ­ляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожи­дания). Для центрированных процессов m_x(t) = 0 и . Таким образом, усредненное значение спектральной плотности не несет никакой информации о флуктуационной, то есть собственно случайной, составляющей случайного про­цесса. Это говорит о том, что фазы спектральных составляющих в различных реализациях процесса случайны и независимы.

Можно, однако, рассмотреть спектральную плотность мощности случайного процесса, поскольку мощность не зависит от соотношения фаз спектральных со­ставляющих.

Рассмотрим центрированный случайный процесс и выделим из его ансамбля ка­кую-либо реализацию х(t), ограничив ее длительность конечным интервалом времени [-Т/2; Т/2]. Применив затем к этой реализации прямое преобразование Фурье, найдем ее спектральную плотность Х_Т(ω). Энергию Е_T рассматриваемого отрезка реализации согласно равенству Парсеваля (1.24) можно вычислить как

Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность Р_Т реализации на дан­ном временном интервале:

При увеличении длительности промежутка времени T энергия отрезка реализа­ции неограниченно возрастает, а средняя мощность стремится к некоторому пре­делу. Совершив предельный переход Т →∞, получим

где функция

(1.45)

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматривае­мой реализации.

ЗАМЕЧАНИЕ

Часто говорят «спектральная плотность мощности» или «спектр мощности». Английский термин — power spectral density, PSD.

В общем случае спектральную плотность мощности W(ω) необходимо усреднить по множеству реализаций. Однако, если ограничиться рассмотрением эргодиче-ских процессов, можно считать, что найденная по одной реализации (то есть пу­тем усреднения по времени) функция W(ω) характеризует весь процесс в целом.

Так как мы рассматриваем центрированный эргодический случайный процесс, средняя мощность любой его реализации равна дисперсии процесса. Таким об­разом,

(1.46)

W(ω) — вещественная функция, она не содержит информации о фазах спектраль­ных составляющих и не позволяет восстановить отдельные реализации случай­ного процесса. Кроме того, из определения спектральной плотности (1.45) оче­видно, что W(ω) является неотрицательной и четной функцией частоты.