16)Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвященных установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения.

Среди этих теорем важнейшее место принадлежит теореме Ляпунова.

Теорема Ляпунова.

Если Х1, X2, ..., Хn − независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание M(Xi) = a i, дисперсия D(Xi) = , абсолютный центральный момент третьего порядка

а также

то закон распределения суммы Yn = Х1 + X2 + ... + Хn при n → ∞ неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием

и дисперсией

удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

Следствие теоремы Ляпунова.

Если Х1, Х2, ..., Хn − независимые случайные величины, у которых существуют равные математические ожидания M(Xi) = a, дисперсии D(Xi)= σ² и абсолютные центральные моменты третьего порядка

то закон распределения суммы Yn = Х1 + X2 + ... + Хn при n → ∞ неограниченно приближается к нормальному закону.

В частности, если все случайные величины Хi одинаково распределены, то закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному закону при n → ∞.

Если сложить шесть таких случайных величин, то получится случайная величина с плотностью вероятности, практически не отличающейся от нормальной.

если сумма при n → ∞ всегда имеет нормальный закон распределения, то скорость сходимости к нему существенно зависит от типа распределения ее слагаемых.

Распределением (хи-квадрат) с k степенями свободы называется рас-пределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распреде-ленных по стандартному нормальному закону, т.е.

где Zi (i = 1, 2, ..., k) имеет распределение N(0;1).

17)Многомерные случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение из некоторой совокупности своих возможных значений, причем заранее неизвестно какое именно.

Если результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин Х1, Х2, ..., Хn, то ее называют многомерной (n - мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = (Х1, Х2,...,Хn).

Теоретико-множественная трактовка понятия многомерной случайной величины. Поскольку любая случайная величина X_i (i = 1,2,...,n) в теоретико-множественной трактовке есть функция элементарных событий ω, входящих в пространство элементарных событий Ω (ω Ω), то и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий ω :

(Х₁, Х₂, ..., Х_n) = f (ω),

т.е. каждому элементарному событию ω ставится в соответствие несколько действительных чисел х₁, х₂, ..., x_n, которые приняли случайные величины Х₁, Х₂, ..., Х_n в результате испытания.

Другими словами вектор х = (х₁, х₂, ..., x_n) называется реализацией случайного вектора X = (Х₁, Х₂, ..., Х_n).

Если результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин Х1, Х2, ..., Хn, то ее называют многомерной (n - мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = (Х1, Х2,...,Хn).

Примеры многомерных случайных величин:

1. Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой n случайных величин Х1, Х2, ..., Хn — оценками по различным предметам, проставленными в приложении к диплому.

2. Погода в данном месте в определенное время суток может быть охарактеризована системой случайных величин: Х1 − температура; X2 − влаж-ность; Х3 − давление; Х4 − скорость ветра и т.п.

Случайные величины Х1, Х2,...,Хn, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными

Геометрически двумерную (X, Y) и трехмерную (X, У, Z) случайные величины можно изобразить случайной точкой или случайным вектором плоскости Оху или трехмерного пространства Oxyz, при этом случайные величины X, Y или Х, Y, Z являются составляющими этих векторов.

В случае n-мерного пространства (n > 3) также говорят о случайной точке или случайном векторе этого пространства, хотя геометрическая интерпретация в этом случае теряет свою наглядность.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием многомерной случайной величины является закон ее распределения.

При конечном множестве возможных значений многомерной случайной величины такой закон может быть задан в форме таблицы (матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из одномерных случайных величин, входящих в систему, и соответствующие им вероятности.

В каждой клетке (ij) матрицы располагаются вероятности произведения событий рij = P[(X = xi) (Y = yj)].

Итоговые столбец или строка таблицы распределения (X,Y) представляют соответственно распределения одномерных составляющих (хi, pi) или (yj, pj).

Таким образом, чтобы по таблице распределения найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просум-мировать вероятности рij из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, положить Y = уj то полученное распределение случайной величины X называется условным распределением X при условии Y = yj .

Вероятности pj (хi) или Р(хi | yj) этого распределения будут условными вероятностями события X = xi, найденными в пред-положении, что событие Y = yj произошло.

Из определения условной вероятности:

Аналогично условное распределение случайной величины Y при условии X = Xi задается с помощью условных вероятностей: