11)Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Их свойства.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x) выражающая для каждого х вероятность того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F( x) = P( X < x).

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Значения F(x) лежат в интервале от 0 до 1, то есть 0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. Функция распределения F(x) - неубывающая функция своего аргумента,

то есть если Х два больше х один, то F(x два)большеF(x один) .

3. Функция распределения равна нулю при х=-бесконечность и единице при х=+бескончность .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [х₁ , х₂ ) равна

приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой про-исходят в точках, соответст-вующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Сумма всех скачков функции F(x) равна 1.

Плотностью вероятности (плотностью распределения или просто плотностью) f(x) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения:

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. Плотность распределения - неотрицательная функция, f(x) ≥ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а, b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b:

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

Случайная величина X называется н е п р е р ы в н о й, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Следствие. Если X – непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал (x1,x2) не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

12)Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Для дискретной случайной величины,принимающей бесконечное,но счетное множество значений – сумма ряда:

для непрерывной случайной величины:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной:

М [ С ] = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М [ kХ ] = k•М [ Х ].

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

5.Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

М[ Х – М(Х) ] = 0.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины, принимающей бесконечное, но счетное множество значений – сумма ряда:

Для непрерывной случайной величины:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ