3)Действия над событиями.
Суммой двух событий А и В будем называть событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или события А и В вместе.
А+В (АUВ) А+В (АUВ)
Геометрическая интерпретация сложения совместных и несовместных событий в форме диаграмм Вьенна
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.
Произведением двух событий А и В называется такое событие С, которое состоит в одновременном появлении событий А и В.
АВ (А∩В) АВ (А∩В)
Геометрическая интерпретация умножения совместных и несовместных событий в форме диаграмм Вьенна
Произведением нескольких событий называется событие,состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
Разностью двух событий А и В называется событие, которое состоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет.
А–В (А∩В) А–В (А∩В)
Геометрическая интерпретация разности совместных и несовместных событий в форме диаграмм Вьенна
Дополнением события A называется событие А, которое состоится, если событие А не произойдет: A=Ω–A.
Свойства операций сложения и умножения событий:
1. А + В = В + А – коммутативность сложения.
2. А + (В + С) = (А + В) + С – ассоциативность сложения.
3. АВ = ВА – коммутативность умножения.
4. A(BС) = (АВ)С – ассоциативность умножения.
5. А(В + С) = АВ + АС; (А + В)С = АС + ВС – законы дистрибутивности умножения относительно сложения.
Из определения операций над событиями следуют очевидные равенства:
А + А = А; АА = А; А + Ω = Ω; АΩ = А; А + пустое множество(Ш)= А; АШ = Ш.
4)Теоремы сложения и умножения вероятностей.
1)Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В) =Р(А) + Р(В).
доказательство:
Пусть в результате испытания из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытания событию А благоприятствует m1 случаев, а событию В – m2 случаев
Так как события А и В несовместные, то ни один из случаев, благоприятствующих одному из этих событий, не благоприятствует другому. Поэтому событию А + В будет благоприятствовать m1 + m2 случаев:
следствие 1:Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
следствие 2:Сумма вероятностей событий,образующих полную группу,равна единице:
следствие 3:Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
