25)Процессы гибели и размножения.

Специальный класс случайных процессов (так называемые процессы гибели и размножения) служит математической моделью ряда биологических задач и в том числе — изменения численности биологических популяций.

Для состояния S₀ –

Для состояния S₁ – ,

которое с учетом первого соотношения приводится к виду:

Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

26)Системы массового обслуживания с отказами.

Абсолютная пропускная способность –

граф смо с отказами:

Система дифференциальных уравнений Колмогорова — Чепмена

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ для финальных вероятностей(система уравнений ЭРЛАНГА):

ρ=λ/μ -«приведенная интенсивность потока заявок» - отношение интенсивностей входящего и выходящего потоков (среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки).

Данные зависимости называют формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания.

Характеристики эффективности СМО с отказами:

1)Вероятность отказа равна вероятности пребывания системы в состоянии S_n :

2)Относительная пропускная способность есть вероятность того, что заявка будет обслужена:

3)Абсолютная пропускная способность равна:

4)Степень загрузки системы (математическое ожидание числа занятых обслуживанием каналов):

5)Коэффициент занятости каналов обслуживания:

27)Системы массового обслуживания с ожиданием.

Очереди нет:

очередь:

Характеристики эффективности СМО с ожиданием:

1)Среднее число занятых каналов:

2)Средняя длина очереди:

3)Среднее время ожидания в очереди:

4)Среднее время пребывания заявок в системе (ожидание в очереди и обслуживание):

5)Коэффициент занятости каналов обслуживания:

ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ:

1. Рациональная организация создаваемых систем обслужи-вания (торгово-снабженческих и ремонтных систем, медико-санаторные системы и т.п.).

2. Оценка качества существующих систем.

3. Математическое моделирование процессов, физический смысл которых допускает применение рассмотренного выше математического аппарата.

28)Общие сведения о выборочном методе.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА – раздел математики посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для получения теоретических и практических выводов.

Основными мероприятиями при организации и проведении сбора статистических данных являются:

- составление программы (плана) сбора статистических данных;

- разработка форм статистических документов и инструкций к

ним;

- подготовка сотрудников к выполнению соответствующих

работ;

- непосредственный сбор статистических данных;

• контроль сбора статистических данных.

1)способы сбора данных

а)непосредственное наблюдение явлений(объектов)

б)документальный способ

в)опрос

2)форма сбора статистических данных(отчёты,обследования)

3)носители статистических данных(бланки,листы обычной бумаги и т. д.)

Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) называется генеральной совокупностью.

В математической статистике понятие генеральной совокупности трактуется как совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном реальном комплексе условий.

Понятие генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей, вероятностному пространству), так как полностью обусловлено определенным комплексом условий. Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Число объектов (наблюдений) в генеральной или выборочной совокупностях называются их объемами.

В практике статистических исследований различают два вида наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты (элементы, единицы, образцы) совокупности, и несплошное, выборочное, когда изучается часть объектов.

Цели выборочного метода сбора статистических данных

1)Сокращение объема необходимых работ (средств, времени)

2)Проведение углубленного исследования при тех же затратах ресурсов за счет расширения программы исследования

3)Исключение массовой порчи и уничтоженияобъектов при сборе данных о них

4)Уточнение и контроль данных сплошного сбора

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в целом.

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, и все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Способы отбора:

1)собственно-случайная выборка(отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности)

а)простой случайный бесповторный отбор(отобранный элемент не возвращается в общую совокупность)

б)простой случайный повторный отбор(каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвращается в общую совокупность и может быть повторно отобран)

2)отбор с расчленением генеральной совокупности на части

а)типичный отбор(отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой "типической части";этот способ отбора используется тогда, когда об-следуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности)

б)механический отбор(отбор, при котором генеральная совокупность "механически" делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект)

в)серийный отбор(отбор, при котором объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а "сериями", которые в свою очередь подвергаются сплошному обследованию)

Математическая теория выборочного метода основывается на анализе собственно-случайной выборки.