15)Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Пуассона.

Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому, по формулировке академика А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при достаточно общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая.

Другими словами, при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым определенным постоянным.

Теорема Чебышева.

Если дисперсии n независимых случайных величин Х1, X2, ..., Хn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математи-ческих ожиданий а1, а2, ..., аn, т.е.

или

Смысл формулировки «сходимость по вероятности»

Понятие предела переменной X ( ) означает, что начиная с некоторого момента ее изменения для любого сколь угодно малого числа ε > 0 будет верно неравенство |Х – а| < ε .

Поскольку – случайная величина, то возможно, что в отдельных случаях неравенство выполняться не будет.

Однако с увеличением числа n вероятность неравенства

стремится к 1, т.е. это неравенство будет выполняться в подавляющем большинстве

случаев.

Другими словами, при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла — практически невозможным.

«Физический» смысл теоремы Чебышева.

При большом числе n случайных величин Х1, Х2, ..., Хn практически достоверно, что их средняя − величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины , т.е. практически перестает быть случайной.

Следствие.

Если независимые случайные величины Х1, X2, ..., Хn имеют одинаковые математические ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то зависимости теоремы Чебышева примут вид:

или

Теорема Бернулли.

Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности р этого события в отдельном испытании:

или

Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе n повторных независимых испытаний практически достоверно, что частость (или статистическая вероятность) события m / n — вели-чина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины р — вероятности события, т.е. практически перестает быть случайной.

Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его частостью, или статистической вероятностью, полученной в n повторных независимых испытаниях, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, ибо частость события можно представить как среднюю арифметическую n независимых альтернатив-ных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения.

Непосредственным обобщением теоремы Бернулли является теорема Пуассона, когда вероятности события в каждом испытании различны.

Теорема Пуассона.

Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти соответственно с вероятностями р1, p2, ..., рn при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к средней арифметической вероятностей события в отдельных испытаниях, т.е.

или