- •1)Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их классификация.
- •2)Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.
- •3)Действия над событиями.
- •4)Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •1)Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
- •2)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •3)Теорема умножения вероятностей:
- •4)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •5)Зависимые и независимые события.Условная вероятность.
- •6)Формула полной вероятности. Теорема Байеса
- •7)Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •8)Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9)Случайная величина и ее закон распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •11)Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Их свойства.
- •12)Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства.
- •1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
- •2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его при этом в квадрат:
- •Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
- •13)Мода, медиана, квантили. Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •14)Неравенства Маркова и Чебышева.
- •15)Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Пуассона.
- •16)Центральная предельная теорема
- •17)Многомерные случайные величины
- •18)Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Их свойства.
- •19)Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
- •20)Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.
- •21)Случайные процессы и их характеристики.
- •22)Марковские случайные процессы.
- •23)Уравнения Чепмена-Колмогорова.Предельные вероятности состояний.
- •24)Общая характеристика систем массового обслуживания. Потоки событий.
- •25)Процессы гибели и размножения.
- •26)Системы массового обслуживания с отказами.
- •27)Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •28)Общие сведения о выборочном методе.
- •29)Вариационные ряды и их графическое изображение
- •30)Числовые характеристики выборочного распределения. Их свойства.
- •31)Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок.
- •39)Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая и внутри групповая вариации
- •40)Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
- •41)Основные положения регрессионного анализа.
- •42)Линейная парная регрессия.
- •43)Оценка тесноты корреляционной зависимости для линейной модели. Коэффициент детерминации.
- •44)Интервальная оценка функции регрессии.
- •45)Проверка значимости уравнения регрессии. Интервальная оценка параметров парной модели.
30)Числовые характеристики выборочного распределения. Их свойства.
Среднее арифметическое вариационного ряда
(выборочное среднее):
где n - объем выборки;
- значения изучаемого показателя.
Если статистический ряд составлен, то выборочное среднее равно:
или
где - значения показателя, определяющие группы
статистического ряда (k - число групп);
- частоты;
- частости.
Выборочное среднее арифметическое, выборочная дисперсия и другие характеристики вариационного ряда являются статистическими аналогами математического ожидания, дисперсии и иных соответствующих характеристик случайной величины X .
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО:
1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.
2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число раз,то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:
или
3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:
или
4. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:
или
5. Средняя арифметическая отклонений вариантов от средней арифметической равна нулю:
6. Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем весами являются объемы групп:
где — общая средняя (средняя арифметическая всего ряда);
— групповая средняя i-й группы, объем которой равен ni
l — число групп.
Медианой вариационного (статистического) ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.
Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов — полусумме двух серединных вариантов.
Для интервального вариационного ряда находится медианный интервал, на который приходится середина ряда, а значение медианы на этом интервале находят с помощью линейного интерполирования (или графическим путем с помощью кумуляты, как значение признака, для которого или ).
Модой статистического ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.
Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть больше ее.
Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми.
Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в наличии определенной устойчивости к вариации признака.
Дисперсия s2 вариационного ряда
(выборочная дисперсия):
Если статистический ряд составлен, то дисперсия равна:
или ,
а также: или
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариации
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ
1. Дисперсия постоянной равна нулю.
2. Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличится (уменьшится) в k2 раз:
3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится:
4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов вариантов и квадратом средней арифметической:
5. Если ряд состоит из нескольких групп наблюдений, то общая дисперсия s2 равна сумме средней арифметической групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии («правило сложения дисперсий») :
где – средняя арифметическая групповых
дисперсий ;
– межгрупповая дисперсия.
Коэффициентом асимметрии статистического ряда называется число:
Если , то распределение имеет симметричную форму, т.е. варианты, равноудаленные от , имеют одинаковую частоту.
При говорят о положительной (правосторонней) или отрицательной (левосторонней) асимметрии.
Эксцессом (коэффициентом эксцесса) статистического ряда называется число:
Эксцесс является показателем «крутости» ( или «пологости»
) вариационного ряда по сравнению с нормальной кривой.
Начальный момент k-го порядка статистического ряда определяется по формуле:
Очевидно, что т.е. средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка вариационного ряда.
Центральный момент k-го порядка статистического ряда определяется по формуле:
Очевидно, что центральный момент первого порядка для любого распределения равен нулю, а второго порядка является дисперсией вариационного ряда.