6)Формула полной вероятности. Теорема Байеса

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Если событие А может произойти только при условии появления одного их событий (гипотез) B1,B2… Bn, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вроятностей каждой из гипотез на соответствующие условные вероятности А.

где Р(А)-полная вероятность события А

Р(Вi)-вероятность гипотезы Bi,при которой может произойти событие А(i=1,2.n)

Р(А|Bi)-вероятность события А,вычесленная при условии наступления гипотезы

Hi (i=1,2…n).

Доказательство:

По условию события (гипотезы) В1,В2,...Bn образуют полную группу событий, следовательно, они единственно возможные и несовместные.

Так как гипотезы В1,В2,...Bn — единственно возможные, а событие А по условию может произойти только вместе с одной из гипотез, то

А = АВ1 + АВ2 + ... + АВn.

В силу того, что гипотезы В1,В2,...Bn несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей:

Р(А) = Р(АВ1)+Р(АВ2)+... + Р(АВn) = ∑ P(ABi)

/=1

И по теореме умножения вероятностей получаем:

Теорема Байеса— одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того,что произошло какое-либо событие(гипотеза)при наличии лишь косвенных тому подтверждений(данных), которые могут быть неточны.

,

где

P(A)—априорная вероятность гипотезы A(смысл такой терминологии см.ниже);

P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B) — вероятность наступления события B.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

Такой подход, называемый байесовским, дает воз­можность корректировать управленческие решения, например, в экономике, а также оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

7)Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Схема Бернулли:

Если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Если независимые повторные испытания проводятся при одном и том же комплексе условий, то вероятность наступления события А в каждом испытании одна и та же.

случай,когда испытания являются независимыми и вероятность появления события А в каждом испытании постоянна.Такие испытания называются повторными независимыми.

Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.

Теорема (Формула Бернулли):

Если вероятность р наступления события А в каждом испыта-нии постоянна, то вероятность Рmn того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

где q = 1 - р.

Число m0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность его осуществления Р_М,n по крайней мере не меньше вероятностей Р_М,n других событий при любом m:

Решим первое неравенство системы, используя формулы Бернулли и числа сочетаний, запишем:

преобразовав которое, получим –

Для второго (аналогично) –

Окончательно получаем: