2)Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Условной вероятностью(или)называется вероятность события В,вычисленная при условии, что событие А уже произошло.

Доказателство:Пусть из общего числа n равновозможных и несовместных исходов испытания событию А благоприятствует m случаев, событию В — k случаев, а совместному появлению событий А и B,т.е. событию АВ —l случаев(l ≤ m ,l ≤ k )

После того как событие А произошло, число всех равновозможных исходов(случаев) сократилось с n до m , а число случаев, благоприятствующих событию B с k до l .

или

Аналогично, для события В получаем ―

3)Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего события вычисляется при условии, что все предыдущие события имели место

Для двух событий

Если события А и В независимы ^*

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет.

.Для n независимых событий

4)Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т.е.

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС)

Вероятность суммы нескольких совместных событий А1, A2, ..., An равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий:

для независимых:

для независимых и равных:

5)Зависимые и независимые события.Условная вероятность.

Различают события зависимые и независимые.Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события В, вычисленная в предположении осуществления другого события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(ВlА).

Условие независимости события В от события А записывают в виде Р(ВlА)=Р(В), а условие его зависимости — в виде Р(ВlА) не равняется Р(В).

Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.

РА(В)=Р(В)

Если РА(В)не равна Р(В),событие В называется зависимым от А.

Зависимость и независимость событий всегда взаимны.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.

Для независимых событий теорема умнож.вероятностей для двух и несколько событий примет вид:

P(AB)=P(A)P(B),

P(ABC…KL)=P(A)P(B)…P(L)

Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и вычисляется по формуле:

 

теорема умножения:1)если события а и б независимы:

2)для n независимых событий:

сумма нескольких совместных событий:1)для независимых:

2)для независимых и равных: