1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D [С] = 0.

2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его при этом в квадрат:

3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Средним квадратическим отклонением σх случайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

.

13)Мода, медиана, квантили. Начальные и центральные моменты случайных величин.

Модой Мо(Х) случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(х) достигает максимума).

Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины X называется такое ее значение, для которого

Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т.е.

Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е.

Некоторые квантили получили особое название.

Квантили и получили название соответственно верхнего и нижнего квантилей.

В литературе встречаются также термины: децили (под которыми понимаются квантили ( ) и процентили (квантили ).

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

1)первый начальный момент характеризует среднее значение случайной величины х на числовой оси

2)2-й центральный момент-степень рассеяния распределения х относительно М(х)

3)3-й центр. Момент служит для характеристики ассиметрии(скошенности) распределения

коэффициент ассиметрии случайной величины х:

4)4-й центр.момент служит для характеристики крутости(островершинности или плосковершинности)распределения

эксцесс случайной величины-число:

14)Неравенства Маркова и Чебышева.

Теорема (Неравенство Маркова или лемма Чебышева).

Если случ. величина X принимает только неотрицат. значения и имеет матем. ожидание,то для любого положительного числа А верно нер-во:

Так как события X > А и X ≤ А противоположные, то заменяя Р (Х > А) выражением 1 – Р (Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:

нерав-во маркова применимо к любым неотрицательным случ. Величинам

Теорема (Неравенство Чебышева). Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

где а = М(Х), ε > 0.

Учитывая, что события |Х − а| > ε и |Х − а| ≤ ε противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме:

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В первом случае оно устанавливает верхнюю границу, а во втором – нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

ФОРМА НЕРАВ-ВА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН:

а) для случайной величины X = m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием а = М(Х) = nр и дисперсией D(X) = npq :

б) для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью

и имеющей дисперсию

Различие результатов объясняется тем, что нер-во Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности искомого события для любой случ. величины, а интегральная теорема Муавра−Лапласа дает достаточно точное значение самой вероятности Р(тем точнее, чем больше n),т.к. она применима лишь для случ. величины,имеющей определенный,именно−биномиальный закон распределения.

« правило 3 сигм» применимо для большинства случ.величин

Если математическое ожидание М(Х) > А или же дисперсия случайной величины D(X) > ε², то правые части неравенств Маркова и Чебышева) будут соответственно или больше 1, или отрицательными.

Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к очевидному результату: вероятность события меньше числа, превосходящего 1, либо больше отрицательного числа.