2)Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.
Вероятность события–численная мера объективной возможности наступления этого события.(Р(А)лежит в интервале от о до 1 включая)
Классической вероятностью события А называется отношение числа благоприятных* исходов (m) к общему числу несовместных единственно возможных и равно-возможных** исходов (n):
где Р(А) – вероятность события А;
m – число исходов, благоприятствующих событию А;
n – общее число исходов.
Исход называется благоприятствующим (благоприятным) событию А, если его появление влечет за собой появление события А.
** События называются равновозможными, если в результате испытания нет объективных оснований считать ни одно из них более возможным.
Решение:Возможны четыре исхода: "орел" и "решка"; "решка" и "орел"; "решка" и "решка"; "орел" и "орел".
Эти исходы являются несовместными, единственно возможными и равновозможными, причем при трех исходах хотя бы раз появится "орел". Следовательно, искомая вероятность равна 3 / 4 .
Пример. (Ошибка Д’Аламбера)Монету бросают 2 раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз появится "орел" ?
Решение Д’Аламбера:
Д’Аламбер предположил, что "орел" появится либо при первом, либо при втором, либо совсем не появится. Всех случаев три, из них благоприятствуют ожидаемому событию два, следовательно, искомая вероятность равна 2 / 3.
Ошибка, которую допустил Д’Аламбер в этом решении, заключает-ся в том, что он не различал равновозможные и не равновозможные исходы: вероятность события "орел" совсем не появится", равна 1 / 4, но вероятности событий "орел" появится при первом бросании" и "орел" появится при втором бросании" равны по 3 / 8.
Свойства классической вероятности:
- вероятность достоверного события равна 1, т.е.
- вероятность невозможного события равна 0, т.е Р(Ø) = 0;
-вероятность случ. события заключена в интервале (0,1),т.е. Р(а) от о до 1 включая)
События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются соответственно практически невозможными или практически достоверными событиями.
Недостатки определения :
- жесткие требования на первоначальный комплекс условий;
конечное число исходов.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.
где – статистическая вероятность события А;
ω(A) – относительная частота (частость) события А;
m – число испытаний, в которых появилось событие А;
n – общее число испытаний.
Условия применимости статистического определения вероятности
1. Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.
2.События должны обладать так называемой статистической устойчивостью, или устойчивостью относительных частот.
Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота (частость) события изменяется незначительно (тем меньше, чем больше число испытаний), колеблясь около постоянного числа, которым является вероятность.
Теорема Бернулли
Число испытаний, в которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероят-ность события Р (А ) приближенно равной ее относительной частоте.
Свойства вероятности следующие из ее классического определения сохраняются и при статистическом определении.
Недостатки определения:
- классическую вероятность можно определить до опыта, а статистическую вероятность – только после опыта, по его результатам;
конечное число событий.
Геометрической вероятностью события А–называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А к мере всей области:
где mes d - мера благоприятной области;
mes D - мера всей области.
Мера– способ сопоставления множеству неотрицательного числа (называемого мерой этого множества), удовлетворяющий определенным аксиомам, например: мера пустого множества равна нулю, мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер.
Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств R n, обобщающая понятие объема (площади или длины) на случай множеств более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.
В простейшем случае мерой является площадь геометрической фигуры.