- •1)Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их классификация.
- •2)Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.
- •3)Действия над событиями.
- •4)Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •1)Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
- •2)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •3)Теорема умножения вероятностей:
- •4)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •5)Зависимые и независимые события.Условная вероятность.
- •6)Формула полной вероятности. Теорема Байеса
- •7)Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •8)Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9)Случайная величина и ее закон распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •11)Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Их свойства.
- •12)Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства.
- •1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
- •2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его при этом в квадрат:
- •Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
- •13)Мода, медиана, квантили. Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •14)Неравенства Маркова и Чебышева.
- •15)Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Пуассона.
- •16)Центральная предельная теорема
- •17)Многомерные случайные величины
- •18)Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Их свойства.
- •19)Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
- •20)Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.
- •21)Случайные процессы и их характеристики.
- •22)Марковские случайные процессы.
- •23)Уравнения Чепмена-Колмогорова.Предельные вероятности состояний.
- •24)Общая характеристика систем массового обслуживания. Потоки событий.
- •25)Процессы гибели и размножения.
- •26)Системы массового обслуживания с отказами.
- •27)Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •28)Общие сведения о выборочном методе.
- •29)Вариационные ряды и их графическое изображение
- •30)Числовые характеристики выборочного распределения. Их свойства.
- •31)Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок.
- •39)Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая и внутри групповая вариации
- •40)Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
- •41)Основные положения регрессионного анализа.
- •42)Линейная парная регрессия.
- •43)Оценка тесноты корреляционной зависимости для линейной модели. Коэффициент детерминации.
- •44)Интервальная оценка функции регрессии.
- •45)Проверка значимости уравнения регрессии. Интервальная оценка параметров парной модели.
22)Марковские случайные процессы.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями,если его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком).
Процесс называется процессом с непрерывным време-нем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Случайный процесс, протекающий в некоторой системе S с возможными состояниями S1, S2, S3, … называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем (при t > t0) зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние, т.е. не зависят от поведения в прошлом (при t < t0).Случайный процесс, протекающий в некоторой системе S с возможными состояниями S1, S2, S3, … называется марковским или случайным процессом без последействия, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем (при t > t0) зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние, т.е. не зависят от поведения в прошлом (при t < t0).
Рассмотрим две модели марковских процессов:
— марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова);
— марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Пример марковского процесса — счетчик в такси.
Пример приближенно марковского процесса — игра в шахматы.
Марковским случайным процессом с дискретными состояниями и дискретным временем (цепью Маркова) называется марковский процесс, в котором его возможные состояния S1, S2, S3, … можно заранее пересчитать, а переход из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком), но только в опре-деленные моменты времени t1, t2, t3,…, называемые шагами процесса.
Геометрическая модель случайных процессов с дискретными состояниями – граф состояний (неразмеченный и размеченный),
где pij – вероятность перехода случайного процесса из состояния i в состояние j.
Если вероятности pij не зависят от номера шага случайного процесса то такая цепь Маркова называется однородной.
равенство Маркова позволяет для однородной цепи по pij определить pij (n):
Марковским случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем называется марковский процесс, в котором в отличие от рассмотренной выше цепей Маркова, моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.
Геометрическую модель марковского процесса пред-ставим в виде графа,в кото-ром состояния (вершины) объединены между собой связями (переходами из i-го состояния в j-е состояние.
Переход из i-го состояния в j-е происходит в случайные моменты времени, которые определяются интенсивностью перехода λij:
Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОТОКА СОБЫТИЙ
Интенсивность потока событий λij – среднее число событий, появляющихся за единицу времени.
1)Если λij = λij (t) = const, т.е. интенсивность событий не зависит от времени, то поток принято называть стационарным.
2)Поток событий называют ординарным, если за сколь угодно малый отрезок времени вероятность появления одного события гораздо больше вероятности появления двух и более.
3)Если в потоке вероятность появления некоторого числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от числа наступивших в любой другой не пересекающийся с данным, промежутком времени, то он называется потоком без последействия.
Если поток событий одновременно стационарен, ординарен и без последействия, то его называют простейшим.