- •1)Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их классификация.
- •2)Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.
- •3)Действия над событиями.
- •4)Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •1)Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
- •2)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •3)Теорема умножения вероятностей:
- •4)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •5)Зависимые и независимые события.Условная вероятность.
- •6)Формула полной вероятности. Теорема Байеса
- •7)Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •8)Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9)Случайная величина и ее закон распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •11)Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Их свойства.
- •12)Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства.
- •1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
- •2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его при этом в квадрат:
- •Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
- •13)Мода, медиана, квантили. Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •14)Неравенства Маркова и Чебышева.
- •15)Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Пуассона.
- •16)Центральная предельная теорема
- •17)Многомерные случайные величины
- •18)Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Их свойства.
- •19)Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
- •20)Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.
- •21)Случайные процессы и их характеристики.
- •22)Марковские случайные процессы.
- •23)Уравнения Чепмена-Колмогорова.Предельные вероятности состояний.
- •24)Общая характеристика систем массового обслуживания. Потоки событий.
- •25)Процессы гибели и размножения.
- •26)Системы массового обслуживания с отказами.
- •27)Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •28)Общие сведения о выборочном методе.
- •29)Вариационные ряды и их графическое изображение
- •30)Числовые характеристики выборочного распределения. Их свойства.
- •31)Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок.
- •39)Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая и внутри групповая вариации
- •40)Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
- •41)Основные положения регрессионного анализа.
- •42)Линейная парная регрессия.
- •43)Оценка тесноты корреляционной зависимости для линейной модели. Коэффициент детерминации.
- •44)Интервальная оценка функции регрессии.
- •45)Проверка значимости уравнения регрессии. Интервальная оценка параметров парной модели.
23)Уравнения Чепмена-Колмогорова.Предельные вероятности состояний.
Система дифференциальных уравнений колмогорова-чепмена
Правило составления уравнений Колмогорова-Чепмена
Производная вероятности состояния равна разности вероятностных потоков, входящих в вершину графа, со-ответствующую этому состоянию, и выходящих из нее.
Или более детально.
В левой части каждого из них стоит производная вероятности i-го состояния.
В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го состояния).
Для решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена, необходимо задать начальные условия - вероятности pi (0) состояний в начальный момент времени t=0, и в результате найти все вероятностные характеристики исследуемого случайного процесса как функции времени.
Особый интерес представляют вероятности системы pi (t) (i = 1 ч n) в предельном стационарном режиме, т.е. при t → , которые называются предельными (финальными) вероятностями состояний (p1, p2, p3, …, pn).
Предельная вероятность состояния Sj показывает среднее относительное время пребывания системы в j-ом состоянии.
Система линейных алгебраических уравнений для финальных вероятностей(закон сохранения)
Правило составления уравнений финальных состояний
Потоки финальных вероятностей, входящих в любое состояние и выходящих из него, совпадают.
Или более детально.
Слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния.
Справа — сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-e состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.
ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ
Потоки финальных вероятностей, входящих в любое сечение графа состояний и выходящих из него, совпадают.
Сечением ориентированного графа называют линию, проходящую через множество его дуг, после удаления которых ориентированный граф распадается на несвязные между собой подграфы.
Сечения, для которых составляются уравнения, должны пересекать все дуги графа состояний.
24)Общая характеристика систем массового обслуживания. Потоки событий.
Теория массового обслуживания - раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из нее, длительности ожидания и длины очередей.
Агнер Краруп Эрланг — датский математик, статистик и инженер, основатель научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания
Задача теории массового обслуживания – установление математических зависимостей между характеристиками потока требований на обслуживание, производи-тельностью одиночного средства обслуживания, их количеством и показателем эффективности системы обслуживания в целом.
Системой массового обслуживания (обслуживающей системой), называется совокупность каналов обслуживания, а также очередь, если она допустима.
Последовательность различных событий в системе называют потоком.
В СМО различают следующие потоки:
1)входящий - последовательность нуждающихся в обслуживании и поступающих в обслуживающую систему заявок;
2)выходящий обслуженных заявок - последовательность заявок на выходе системы, получивших обслуживание;
3)выходящий необслуженных заявок - последовательность заявок на выходе системы, получивших отказ в обслуживании.
Смо:
1)смо с отказами
2)смо с ожиданием
а)смо с ограничением времени ожидания
б)смо с ограниченной длиной очереди
дополнительные:1)дисциплина обслуживания(заявки могут обслуживаться либо в порядке поступления, либо в случайном порядке)
а)в порядке поступления
б)в случайном порядке
2)обслуживание с приоритетом(некоторые заявки обслуживаются вне очереди)
а)абсолютный(заявка с более высоким приоритетом "вытесняет" из-под обслуживания заявку с низшим)
б)относительный(заявка с более высоким приоритетом занимает лучшее место в очереди)
3)смо с многофазовым обслуживанием(состоят из нескольких последовательных этапов)
4)смо открытые и замкнутые(в открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от состояния самой системы (числа занятых каналов), а в замкнутой СМО – зависят)
характеристика потока событий:
Интенсивность потока событий λ - среднее число событий, появляющихся за единицу времени.
1)Если λ = λ (t) = const, т.е. интенсивность событий не зависит от времени, то поток принято называть стационарным.
2)Поток событий называют ординарным, если за сколь угодно малый отрезок времени вероятность появления одного события гораздо больше вероятности появления двух и более.
3)Если в потоке вероятность появления некоторого числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от числа наступивших в любой другой не пересекающийся с данным, промежутком времени, то он называется потоком без последействия.
Если поток событий одновременно стационарен,ординарен и без последействия, то его называют простейшим или стационарным пуассоновским, а при отсутствии стационарности, соответственно, - нестационарным пуассоновским.
Вероятность наступления ровно κ событий (κ =1,2,…, n) за время τ подчиняется закону Пуассона:
где α = α (τ) = λ τ – математическое ожидание числа событий за время τ для простейшего потока;
для нестационарного пуассоновского потока
Вероятность того, что отрезок Δt = τ/n «занят», – λΔt ≈ λτ/n; Вероятность того, что отрезок Δt = τ/n «свободен», – 1 − λτ/n
(чем меньше Δt, тем точнее равенства).
Число занятых элементарных отрезков, т.е. число X событий на всем временном промежутке τ, можно рассматривать как случайную величину, имеющую биномиальный закон распределения *:
с параметрами n и р = λτ/n .
ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ ПРОСТЕЙШЕГО ПОТОКА
1)СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое математическое описание;
2)Предельное свойство простейшего потока:При наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток близкий к простейшему, с интенсивностью, равной сумме интенсивностей входящих потоков.
3)"Граничное свойство" простейшего потока:Если созданная СМО обладает необходимыми характеристиками эффективности для простейших потоков, то и для других потоков она будет функционировать с не меньшей эффективностью.
Временные показатели процесса обслуживания:
Показатели качества работы систем массового обслу-живания наряду с параметрами входящего потока во многом зависят от числа и работоспособности каналов обслуживания, порождающих простейший поток обслуженных заявок интенсивностью μ.
Время, затрачиваемое на обслуживание одной заявки (интервал Т между двумя произвольными соседними событиями стационарного пуассоновского потока), является случайной величиной, распределений по показательному (экспоненциальному) закону.
Плотность распределения описывается формулой:
Функция распределения равна:
Таким образом, интервал Т между двумя произвольными соседними событиями простейшего потока имеет показательное (экспоненциальное) распределение, для которого:
где - интенсивность потока обслуженных заявок(выходящего потока);
среднее время обслуживания одной заявки.\
Абсолютной пропускной способностью СМО называют среднее число заявок, обслуживаемых системой за единицу времени.
Относительной пропускной способностью СМО называют отношение абсолютной пропускной способности к среднему числу заявок, поступающих на вход системы за ту же единицу времени.