- •1)Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и их классификация.
- •2)Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения.
- •3)Действия над событиями.
- •4)Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •1)Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
- •2)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •3)Теорема умножения вероятностей:
- •4)Теорема сложения вероятностей совместных событий:
- •5)Зависимые и независимые события.Условная вероятность.
- •6)Формула полной вероятности. Теорема Байеса
- •7)Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •8)Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •9)Случайная величина и ее закон распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •11)Функция распределения случайной величины. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Их свойства.
- •12)Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, их свойства.
- •1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
- •2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак дисперсии,возведя его при этом в квадрат:
- •Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
- •13)Мода, медиана, квантили. Начальные и центральные моменты случайных величин.
- •14)Неравенства Маркова и Чебышева.
- •15)Закон больших чисел. Теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Пуассона.
- •16)Центральная предельная теорема
- •17)Многомерные случайные величины
- •18)Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Их свойства.
- •19)Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения.
- •20)Числовые характеристики двумерных случайных величин. Ковариация, коэффициент корреляции.
- •21)Случайные процессы и их характеристики.
- •22)Марковские случайные процессы.
- •23)Уравнения Чепмена-Колмогорова.Предельные вероятности состояний.
- •24)Общая характеристика систем массового обслуживания. Потоки событий.
- •25)Процессы гибели и размножения.
- •26)Системы массового обслуживания с отказами.
- •27)Системы массового обслуживания с ожиданием.
- •28)Общие сведения о выборочном методе.
- •29)Вариационные ряды и их графическое изображение
- •30)Числовые характеристики выборочного распределения. Их свойства.
- •31)Понятие об оценке параметров. Характеристики оценок.
- •39)Однофакторный дисперсионный анализ. Межгрупповая и внутри групповая вариации
- •40)Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
- •41)Основные положения регрессионного анализа.
- •42)Линейная парная регрессия.
- •43)Оценка тесноты корреляционной зависимости для линейной модели. Коэффициент детерминации.
- •44)Интервальная оценка функции регрессии.
- •45)Проверка значимости уравнения регрессии. Интервальная оценка параметров парной модели.
21)Случайные процессы и их характеристики.
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ — это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.
Процесс — последовательная смена состояний объекта во времени.
Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.
Другими словами, случайный процесс представляет собой случайную функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее.
Аналогично тому,как случайная величина была представлена в виде функции элементарного события ,появляющегося в результате испытания,случаный процесс можно представить в виде функции двух переменных
где
Случайный процесс (случайная функция) в теории вероятностей называется семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Случайной функцией называется параметризованное семейство случайных величин на вероятностном пространстве * , где T произвольное множество.
Если T R, то параметр может интерпретироваться как время, и тогда случайная функция { Xt } называется случайным процессом.
Если множество T дискретно, например T N , то такой случайный процесс называется случайной последовательностью.
Случайным процессом X(t,ω) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.
При фиксированном t = t0 случайный процесс X(t0,ω) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент t0 .
Реализацией случайного процесса X(t,ω) называется неслучайная функция X(t,ω), в которую превращается случайный процесс X(t,ω) в результате испытания (при фиксированном ω), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t,ω), его траектория.
Таким образом, случайный процесс X(t,ω) совмещает в себе черты и функции, и случайной величины.
Если зафиксировать ω, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию, если зафиксировать значение аргумента t – случайный процесс превращается в обычную случайную величину.
Случайный процесс X(t,ω) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значениях t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t1,ω), X(t2,ω),..., X(tn,ω)), состоящую из всех сечений этого процесса.
В силу непрерывности параметра t таких сечений принципе бесконечно много,но для описания конкретного случайного процесса часто удается обойтись относительно небольшим количеством сечений.
Говорят, что случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью n - мерной случайной вели-чины (X(t1,ω), X(t2,ω),..., X(tn,ω)), где X(ti,ω)) – сечение случайного процесса X(t,ω) в момент времени ti (i = 1, 2, ..., n).
Математическим ожиданием случайного процесса X(t,ω) называется неслучайная функция aх(t), которая при любом значении переменной t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t,ω), т. е. aх(t) = M [X(t,ω)].
Дисперсией случайного процесса X(t,ω) называется не-случайная функция Dх(t), при любом значении переменной t равная дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(t,ω), т.е. Dх(t), = D [X(t,ω)].
Средним квадратическим отклонением σx(t) случайного процесса X(t,ω) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е.
Математическое ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия и среднее квадратическое отклонение – разброс реализаций относительно средней траектории.
Корреляционной функцией случайного процесса X(t,ω) (или просто X(t)) называется неслучайная функция двух переменных t1 и t2
Кх(t1,t2) = М[(X(t1) - ax(t1)) · (X(t2) - ax(t2))],
которая при каждой паре t1 и t2 равна ковариации соответствующих сечений X(t1,ω) и X(t2,ω) случайного процесса.
Корреляционная функция Кх(t1,t2) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сечениями, но и разброс этих сечений относительно математического ожидания ax(t).
Нормированной корреляционной функцией случайного процесса X(t,ω) называется функция