- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.5.5. Суперпозиция булевых функций
Функция f, получаемая из функций f1, f2,…fn с помощью операций подстановки и переименования аргументов, называется суперпозицией функций.
Всякая формула, выражающая функцию f как суперпозицию других функций, задаёт способ её вычисления, т. е. формулу можно вычислить, если вычислены значения всех её подформул. Значение подформулы можно вычислить по известному набору значений двоичных переменных.
По каждой формуле можно восстановить таблицу логической функции, но не наоборот, т.к. каждой логической функции можно представить несколько формул в различных базисах
Формулы Fi и Fj представляющие одну и ту же логическую функцию fi, называются эквивалентными. Так, эквивалентными формулами являются:
f2(x1; x2)=(x1×`x2)=ù(`x1x2)= ù(x1®x2);
f6(x1; x2)=(`x1×x2x1×`x2)= ù(x1«x2)=(x1x2);
f8(x1; x2)=(`x1×`x2)= ù(x1x2)=(x1¯x2);
f14(x1;x2)=(`x1`x2)= ù(x1×x2)=x1½x2;
f9(x1;x2)=((`x1×`x2)(x1×x2))=(x1«x2);
f13(x1;x2)=(`x1x2)=(x1®x2).
Если какая-либо формула F содержит подформулу Fi, то замена Fi на эквивалентную Fj не изменяет значения формулы F при любом наборе булевого вектора, но изменяет форму её описания. Вновь полученная формула F` эквивалентна формуле F.
Для упрощения сложных алгебраических выражений булевой функции выполняют эквивалентные преобразования, используя законы булевой алгебры и правила подстановки и замещения,
При написании формул булевой алгебры следует помнить:
число левых скобок равно числу правых скобок,
нет двух рядом стоящих логических связок, т. е. между ними должна быть формула,
нет двух рядом стоящих формул, т. е. между ними должна быть логическая связка,
логическая связка “” сильнее логической связки “”,
если “ ” относится к формуле (F1F2) или (F1 F2), то прежде всего следует выполнить эти преобразования по закону де Моргана: (F1F2)=F1F2 или (F1F2)=F1F2;
операция “ ” сильнее “”, что позволяет опускать скобки.
Пример: выполнить эквивалентные преобразования формулы F=x1x2x3x4x1x3x2x3x3x4.
по закону коммутативности:
F=x3x1x2x4x3x1x3x2x3x4;
по закону дистрибутивности:
F=x3x1x2x4x3x1x3(x2x4);
по закону дистрибутивности:
F=x3x1x2x4x3(x1x2x4);
по закону дистрибутивности:
F=x3((x1x2x4)(x1x2x4));
по закону де Моргана:
F=x3((x1x2x4)(x1x2x4));
по закону противоречия:
F=x31=x3.
Таким образом x1x2x3x4x1x3x2x3x3x4=x3.
Пример: выполнить преобразования формулы
F=(x1x2x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2x1x2);
по закону де Моргана
F=(x1x2x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2);
по закону дистрибутивности:
F=x1x2x1x2x1x2;
по законам коммутативности и дистрибутивности:
F= x1x2x1(x2x2);
по закону противоречия:
F= x1x2x1;
по закону Порецкого
F= x1x2.
Таким образом (x1x2x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2x1x2)= (x2x1).
Пример: выполнить преобразование формулы F=(x1x2)((x1x3)x2).
по закону де Моргана:
F= (x1x2)((x1x3)x2);
по закону де Моргана:
F=x1x2((x1x3)x2);
по закону де Моргана:
F=x1x2(x1x3x2);
по закону дистрибутивности:
F=x1x2x3x1x2;
по закону поглощения:
F=x1x2.
Таким образом (x1x2)((x1x3)x2)= x1x2.
Пример: выполнить преобразование формулы:
F=ù(x1®x2)×(`x3`x4)(x1¯x2)×ù(x3×x4).
1) преобразовать формулу в базис булевой алгебры:
F=ù(`x1x2)×(`x3`x4)ù(x1x2)× ù(x3×x4);
2) опустить знак “` “ до двоичных переменных:
F=(x1×`x2)×(`x3`x4)(`x1×`x2)×(`x3`x4);
3) преобразовать формулу по закону дистрибутивности:
F=x1×`x2×`x3x1×`x2×`x4`x1×`x2×`x3`x1×`x2×`x4;
4) вынести за скобку `x2 по закону дистрибутивности:
F=`x2×(x1×`x3x1×`x4`x1×`x3`x1×`x4);
5) преобразовать по закону дистрибутивности:
F=`x2×(`x3×(x1`x1)`x4×(x1`x1));
6) использовать закон противоречия:
F=`x2×(`x3`x4)