4.3.1 Реляционная алгебра

Основные теоретико-множественные операции над отображениями были описаны в 1.6.1 и 1.6 4. В настоящем разделе дается описание алгебраических операций, употребляемых в системах управления реляционными базами данных.

Пусть дано множество отношений R={r},

где r={t| t=(d₁, d₂,...d_n), d_iD}- отношение,

t=(d₁, d₂,...d_n) – кортеж отношения,

d_iD_i - значение компоненты кортежа,

D_i – домен i-го атрибута,

D ={D₁, D₂,, D_m} – множество доменов,

A={A₁, A₂, ...A_k} - множество атрибутов,

rel(r)= (A₁, A₂, ...A_n) - схема отношения,

REL(R)={rel(r)} - множество схем отношений,

множество алгебраических операторов:

={, , \, , , _B(r),  _rel(r), ><, >^<}, где

• - оператор объединения отношений;

• - оператор пересечения отношений;

\ - оператор разности отношений;

 - оператор прямого произведения отношений;

 - оператор дополнения отношения;

_B(r) - оператор выбора кортежа по условию B;

 _rel’(r) - оператор проекции отношения на новую схему rel;

>< - оператор естественного соединения отношений;

>^< - оператор  - соединения отношений,

: - оператор деления отношений.

множество логических операторов:

={&, , }, где

& - оператор конъюнкции условий и/или отношений,

 - оператор дизъюнкции условий и/или отношений,

• - оператор отрицания условий и/или отношений,

множество операторов сравнения:

={=, , >, , <, }.

Множество отношений R и операторов формируют реляционную алгебру

. A_p=< R, , , >.

Рассмотрим исполнение алгебраических операций над пятью отношениями r₁, r₂, r₃, r₄ и r₅. Поскольку наиболее удобно представление отношений таблицами, то исполнение операций проследим в графической форме. Имена атрибутов в таблицах обозначены прописными буквами латинского алфавита с индексами А₁, А₂, A₃, A₄, A₅ и А₆, а значения атрибутов - строчными буквами латинского алфавита с индексами {a₁, a₂, a₃, a₄, b₁, b₂, b₃, b₄, c₁, c₂, d₁, d₂, d₃} и цифрами {1, 2, 3}.

r1,

A1

A2

A3

r2

A1

A2

A3

r5

A1

A2

A3

A4

A5

A6

a1

b1

1

a2

b3

1

a1

b1

1

c2

d3

1

ккк

a2

b2

3

a1

b1

1

a2

b2

3

c2

d2

3

a3

b3

2

a2

b4

2

a1

b1

1

c3

d3

2

a4

b1

3

a1

b2

3

a2

b2

3

c2

d2

3

a1

b1

1

c1

d1

2

r3

A1

A4

A5

r4

A4

A5

A6

a3

b3

2

c3

d3

2

a1

c2

d3

c2

d3

1

a3

b3

2

c3

d3

2

a2

c1

d1

c1

d1

2

a4

b1

3

c2

d3

1

a3

c1

d2

c2

d2

3

a1

c2

d1

c3

d3

2

Пусть даны ключи отношений: r₁ – (A₁), r₂ - (A₂), r₃ - (A₁, A₅),

r₄- (A₄, A₅, A₆). В шапках таблиц ключи выделены полужирным шрифтом.

Операторы _B(r), _rel'(r) и r есть унарные операторы, а операторы (r₁, r₂), (r₁, r₂), \(r₁, r₂), (r₁, r₂), ><(r₁, r₂), ><(r₁, r₂) и :(r1,r₂)} – бинарные.

При выполнении алгебраических операций сравнивают значения атрибутов кортежа с постоянными значения­ми или значениями атрибутов других отношений. Для сравниваемых атрибутов введем обозначение постоянной величины - k_di, а для сравниваемых кортежей – k_ti.