- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.5.8. Минимизация булевых функций.
Задача минимизации логических функций сводится к построению в базисе алгебры Буля функции, содержащей минимальное число булевых переменных. Поэтому на первом этапе осуществляется переход к совершенной нормальной форме булевой функции. На следующих этапах осуществляется поиск сокращённых и тупиковых нормальных форм булевой функции, среди которых осуществляется выбор минимальной формы.
Сокращённая нормальная форма есть результат поиска элементарных конъюнкций (дизъюнкций), равносильных с элементарными конъюнкциями (дизъюнкциями) совершенной нормальной формы, но имеющих меньшее число двоичных переменных.
Тупиковая нормальная форма есть результат поиска элементарных конъюнкций (дизъюнкций), равносильных с элементарными конъюнкциями (дизъюнкциями) сокращённой нормальной формы, но имеющих минимальное число двоичных переменных. Любое последующее уменьшение числа двоичных переменных ведёт к разрушению представления булевой функции хотя бы для одного возможного набора двоичных переменных.
При поиске сокращённых и тупиковых нормальных форм используют импликанты булевой функции для ДНФ и имплиценты булевой функции для КНФ, которые обеспечивают покрытие булевой функции для нескольких наборов двоичных переменных, но при меньшем их числе.
Если существуют булевые функции f и f¢, которые при одном и том же наборе булевых переменных имеют одинаковое значение f(s1;s2;…sn)=1 и f¢(s1;s2;…sn)=1, но f¢ имеет меньшее число булевых переменных, то f¢(s1;s2;…;sn)®f(s1;s2;…;sn)=1. В этом случае говорят, что f¢(s1;s2;…;sn) имплицирует f(s1;s2;…;sn) и ее называют импликантой.. Функция f¢, имеющая меньшее число двоичных переменных, покрывает функцию f(x1; x2;…x n) для нескольких наборов булевых переменных.
Пусть даны f(x1; x2; x3)=x1×x2×x3Úx1×x2×`x3Ú`x1×x2×x3Ú`x1×x2×`x3 и
f1(x1 ;x2; x3)=x1×x2×(x3Ú`x3)Ú`x1×x2×(x3Ú`x3)Úx2×x3×(x1Ú`x1)Úx2×`x3×(x1Ú`x1).
Если принять во внимание, что (x1Ú`x1)=1 и (x3Ú`x3)=1, то функция f1(x1; x2; x3) эквивалентна функции f1¢(x1; x2; x3)=x1×x2Ú`x1×x2 Úx2×x3 Úx2×`x3. Каждая элементарная конъюнкция функции f1¢(x1; x2; x3) покрывает две элементарные конъюнкции функции f(x1; x2; x3).
Следовательно, f1¢(x1; x2; x3)®f(x1; x2; x3)=1, т. е. f1¢(x1; x2; x3) является импликантой для функции f(x1; x2; x3).
Если дана функция f2(x1; x2; x3)=x2×(x1Ú`x1)Úx2×(x3Ú`x3), то можно найти эквивалентную ей функцию f2¢(x1; x2; x3)=x2Úx2=x2. Функция f2¢(x1; x2; x3)=x2 покрывает четыре элементарные конъюнкции функции f(x1; x2; x3). Следовательно, f2¢(x1; x2; x3)®f(x1; x2; x3)=1, т. е. функция f2¢(x1; x2; x3) является простой импликантой для функции f(x1; x2; x3).
Если существуют функции f и f¢, которые при одном и том же наборе булевых переменных имеют значения f(s1; s2;...sn)=0 и f¢(s1; s2;… sn)=0, но f¢ имеет меньшее число булевых переменных, то f(s1; s2;…sn)®f¢(s1; s2;…sn)=1. В этом случае говорят, что f¢(s1; s2;…sn) имплицируется f (s1; s2;…sn) и ее называют имплицентой. Функция f¢, имеющая меньшее число двоичных переменных, покрывает функцию f(x1; x2;…x n) для нескольких наборов булевых переменных.
Пусть даны f(x1; x2; x3)=(`x1Úx2Úx3)×(`x1Úx2Ú`x3)×(x1Úx2Ú`x3)×
××(x1Úx2Úx3) и f1(x1; x2; x3)=(`x1Úx2Úx3×`x3)×(x1Úx2Ú`x3×x3)×(x2Ú`x3Úx1×`x1)×
×(x2Úx3Úx1×`x1).
Если принять во внимание, что(x1×`x1)=0 и (x3×`x3)=0, то функция f1(x1; x2; x3) эквивалентна функции f1¢(x1; x2; x3)= (`x1Úx2)×(x1Úx2)×(x2Ú`x3)×(x2Úx3). Каждая элементарная дизъюнкция функции f1¢(x1;x2;x3) покрывает две элементарных дизъюнкции f(x1;x2;x3)=0.Следовательно, f (x1; x2; x3)®f1¢ (x1; x2; x3)=1, т. е. f1¢(x1; x2; x3) является имплицентой для функции f(x1; x2; x3).
Если дана функция f2(x1; x2; x3)= f2(x1;x2;x3)=(x2Úx1×`x1)×(x2Úx3×`x3), то можно найти эквивалентную ей функцию f2¢(x1;x2;x3)=x2×x2=x2. Функция f2¢(x1; x2; x3)=x2 покрывает четыре элементарные дизъюнкции функции f(x1; x2; x3).
Следовательно, f(x1; x2; x3)®f2¢ (x1; x2; x3)=1, т. е. функция
f2¢(x1; x2; x3) является простой имплицентой для функции f(x1; x2; x3).