1.7.3. Композиция нечетких отношений

Если даны r’₁={_r’(x_i, x_j)/(x_i, x^j)} и r’₂={_r’(x_j, x_k)/(x_j, x_k)}, то их композиция есть r’=(r’₁r’₂)={_r’(x_i¹, x_k²)/(x_i¹, x_k²)}, степень принадлежности которому существует тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент x_j, принадлежащий r’₁ и r’₂:

_r’(x_i¹, x _k²)= _j=1^j=m(_r’1(x_i¹, x_j¹)_r’2(x_j², x_k²))=

max{min(_r’1(x_i¹, x_j¹); _r’2(x_j², x_k²)}.

Пример: даны отношения r’₁ и r’₂. Найти r’=(r’₁r’₂).

r’1		x1	x2	x3	x4				r’2			x1			x 2			x3			x4
x1		0,2	0,4	0,6	0,3				x1			0,4			0,2			0,8			0,9
x2		0,3	0,5	0,7	0,5				x2			0,5			0,7			0,3			0,7			=
x3		0,2	0,5	0,4	0,7				x3			0,5			0,2			0,6			0,5
x4		0,3	0,6	0,9	0,9				x4			0,4			0,7			0,8			0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.										r			x1			x2			x3			x4
										x1			0,5			0,4			0,6			0,5
							=			x2			0,5			0,5			0,6			0,5
										x3			0,5			0,7			0,7			0,5
										x4			0,5			0,7			0,8			0,6

1.7.4. Свойства нечетких отношений

Для нечетких отношений также можно выделить свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности, чтобы формировать классы нечетких отношений. Однако для этого необходимо прежде всего вычислить степени нечеткости этих свойств.

Степенью рефлексивности нечеткого отношения (r’)_ref называется величина, определяемая выражением

(r’)_ref=_xi&_r’(x_i, x _i)= _imin{_r’(x_i, x _i)}.

Отношение r’ называют нечетко рефлексивным, если (r’)_ref0,5.

Отношение r’ называют нечеткого нерефлексивным, если (r’)_ref0,5.

Степенью антирефлексивности нечеткого отношения (r’)_ref называется величина, определяемая выражением

(r’)_ref=_xi&(_r’(x_i, x _i))= _imin{(1-_r’(x_i, x _i))}.

Отношение r’ называют нечетко антирефлексивным, если (r’)_ref0,5.

Отношение r’ называют нечетко неантирефлексивным, если (r’)_ref0,5.

Степенью симметричности нечеткого отношения (r’)_sym называется величина, определяемая выражением

(r’)_sym =_xi&(_r’(x_i, x _j)_r’(x_j, x _i)=&((_r’(x_i, x _j))_r’(x_j, x _i))=

_imin{_jmax{(1-_r’(x_i, x _j)), _r’(x_j, x _i)}}.

Отношение r’ называют нечетко симметричным, если (r’)_sym0,5.

Отношение r’ называют нечеткого несимметричным, если (r’)_sym0,5.

Степенью антисимметричности нечеткого отношения (r’)_sym называется величина, определяемая выражением

(r’)_sym =_{i, j}&(_r’(x_i, x _j)&_r’(x_j, x _i))= _{i, j}&(_r’(x_i, x _j)_r’(x_j, x _i))=

_imin{_jmax{(1-_r’(x_i, x _j)), (1-_r’(x_j, x _i)}}.

Отношение r’ называют нечетко антисимметричным, если (r’)_sym0,5.

Отношение r’ называют нечеткого неантисимметричным, если (r’)_sym0,5.

Степенью транзитивности нечеткого отношения (r’)_tr называется величина, определяемая выражением

(r’)_tr =_{i, j, k}&((_j(_r’(x_i, x _j)&_r’(x_j, x _k)_r’(x_i, x _k))))=

_kmin{_imax{_i,kmin{_jmax{(1-_r’(x_i, x _j)), (1-_r’(x_j, x _k)}}, _r’(x_i, x _k)}}.

Отношение r’ нечетко транзитивно, если (r’)_tr 0,5.

Отношение r’ нечетко нетранзититвно, если (r’)_tr 0,5.

Отношение r’, для которого (r’₁)_ref 0,5, (r’₁)_sym 0,5 и (r’₁)_tr 0,5, есть отношение нечеткой эквиваленции.

Степень нечеткой эквивалентности определяется выражением:

(r’)=(r’)_ref&(r’)_sym&(r’)_tr=min{(r’)_ref,(r’)_sym, (r’)_tr}0,5.

Отношение r’, для которого (r’)_ref 0,5, (r’)_sym 0,5,

(r’)_tr 0,5, есть отношение нечеткого нестрогого порядка.

Степень нечеткого нестрогого порядка определяется выражением: (r’)=(r’)_ref&(r’)_sym&(r’)_tr=min{(r’)_ref, (r’)_sym, (r’)_tr}0,5.

Отношение r’, для которого (r’)_ref 0,5, (r’)_sym 0,5,

(r’)_tr 0,5, есть отношение нечеткого строгого порядка.

Степень нечеткого строгого порядка определяется выражением:

(r’)=(r’)_ref&(r’)_sym&(r’)_tr=min{(r’)_ref, (r’)_sym,  (r’)_tr}0,5.

Пример: даны отношения r’₁ и r’₂. Определить тип отношений.

r’1	x1	x2	x3	x4		r’2	x1	x2	x3	x4	x5
x1	0,8	0,2	0,7	0,2		x1	0	0	0	0	0,2
x2	0,4	0,6	0,6	0,2		x2	0,7	0,3	0,6	0,8	0,9
x3	0,6	0,7	0,8	0,3		x3	0,7	0,4	0,2	0,8	0,9
x4	0,3	0,1	0,3	0,7		x4	0,8	0	0	0	0,3
						x5	1	0	0,1	0,7	0

(r’₁)_ref=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7}=0,6;

(r’₁)_ref=min{0,2; 0,4; 0,2; 0,3}=0,2

(r’1)_sym=min{0,8; 0,6; 0,8; 0,7; 0,8; 0,7}=0,6;

(r’1)_sym=min{0,8; 0,4; 0,8; 0,3; 0,9; 0,7}=0,3;

(r’₁)_tr=min{0,7; 0,7; 0,7; 0,6; 0,7; 0,7}=0,6;

Следовательно, (r’₁)=min{0,6; 0,6; 0,6}=0,6.

Ответ: r’₁ есть отношение нечеткой эквивалентности.

(r’₂)_ref=min{0; 0,3; 0,2; 0; 0}=0;

(r’₂)_ref=min{1; 0,7; 0,8; 1; 1}=0,7;

(r’₂)_sym=min{1; 1; 1; 1; 0,4; 0,2; 0,1; 0,2; 0,1; 0,7}=0,1;

(r’₂)_sym=min{1; 1; 1; 0,8; 0,6; 1; 1; 1; 0,9; 0,7}=0,6;

(r’₂)_tr=0,7.

Следовательбно, (r’₂)=min{0,7; 0,6; 0,7}=0,6.

Ответ: r’₂ есть отношение нечеткого строгого порядка.