- •Оглавление
- •Глава 1. Алгебраические системы 17
- •Глава 2. Элементы комбинаторики 88
- •Глава 3. Основы теории графов 101
- •Глава 4. Основы математической логики 169
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул 179
- •4.1.4. Выполнить подстановку: 247
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов 252
- •Глава 6. Конечные автоматы 289
- •Введение
- •Глава 1. Алгебраические системы
- •1.1 Множества
- •1.1.1. Четкие множества
- •1.1.2. Нечеткие множества
- •1.2. Соответствия, отображения и функции
- •1.2.1. Четкие отображения и функции
- •1.2.2. Нечеткие отображения
- •1.3. Отношение
- •1.3.1. Четкие отношения
- •1.3.2. Нечеткое отношение
- •1.4. Элементы общей алгебры
- •1.5. Булева алгебра
- •1.5.1. Булевы операции
- •1.5.2. Законы булевой алгебры
- •1.5.3. Формула булевой функции
- •1.5.4. Описание булевой функции
- •1.5.5. Суперпозиция булевых функций
- •1.5.6. Свойства булевых функций
- •1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
- •1.5.6.2. Монотонные булевы функции
- •1.5.6.3. Линейные булевы функции
- •1.5.6.4. Функции, сохраняющие “0”
- •1.5.6.5. Функции, сохраняющие “1”
- •1.5.6.6. Функционально полные системы
- •1.5.7. Разложение булевых функции
- •1.5.7.1. Днф булевой функции
- •1.5.7.2. Кнф булевой функции
- •Алгоритм преобразования формулы к скнф:
- •1.5.8. Минимизация булевых функций.
- •1.5.8.1.Минимизация днф булевой функции
- •1.5.8.2. Минимизация кнф булевой функции
- •1.6. Алгебра четких множеств
- •1.6.1. Операции над множествами
- •1.6.2. Законы алгебры множеств
- •1.6.3. Эквивалентные преобразования формул
- •1.6.4. Композиция отображений и отношений
- •1.6.5. Поиск неизвестного множества
- •1.7. Алгебра нечетких множеств
- •1.7.1. Операции над нечеткими множествами
- •1.7.2. Композиция нечетких отображений
- •1.7.3. Композиция нечетких отношений
- •1.7.4. Свойства нечетких отношений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Размещение из n элементов по k
- •2.2. Перестановка элементов
- •2.3 Сочетание из n элементов по k
- •2.4. Разбиение множества
- •2. 5 Правила комбинаторики
- •Вопросы и задачи
- •Глава 3. Основы теории графов
- •3.1. Граф и его характеристики
- •3.2. Описание графа
- •3. 3. Числа графа
- •3.4. Операции над графами
- •3.4.1. Унарные операции
- •3.4.1.1 Поиск дополнительного графа
- •3.4.1.2. Введение и удаление вершин графа
- •3.4.1.3. Стягивание вершин графа
- •3.4.1.4. Введение и удаление ребер графа
- •3.4.1.5. Поиск плотности и неплотности графа
- •3.4.1.6. Поиск числа компонент связности графа
- •3.4.1.7. Поиск устойчивости графа
- •3.4.1.8. Поиск цикломатического числа графа
- •3.4.1.9. Поиск хроматического числа графа
- •3.4.2. Бинарные операции
- •3.4.2.1. Объединение графов
- •3.4.2.2. Пересечение графов
- •3.4.2.3. Композиция графов
- •3.4.2.4. Соединение графов
- •3.4.2.5. Прямое произведение графов
- •3.4.2.6. Изоморфизм графов
- •3.5. Некоторые алгоритмы на графах
- •3.5.1. Построение покрывающего остова
- •3.5.2. Построение остова минимального веса
- •3.5.3. Поиск кратчайших путей в сети.
- •3.5.4. Поиск максимального потока в сети
- •3.5.5. Метод критического пути в управлении
- •3.6. Нечеткие графы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 4. Основы математической логики
- •4.1. Логика высказываний
- •4.1.1. Алгебра высказываний
- •4.1.1.1. Логические операции
- •4.1.1.2. Правила записи сложных формул.
- •4.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •4.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •4.1.1.5. Нормальные формы формул
- •4.1.2. Исчисление высказываний
- •4.1.2.1. Интерпретация формул
- •4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок
- •4.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •4.1.2.4. Принцип резолюции
- •4. 2. Логика предикатов
- •4.2.1. Алгебра предикатов
- •4.2.1.1. Законы алгебры предикатов
- •4.2.1.2. Предваренная нормальная форма формулы
- •4.2.1.3 Сколемовская стандартная форма формулы
- •4. 2. 2. Исчисление предикатов
- •4.2.2.1. Правила подстановки
- •4.2.2.2. Правила введения и удаления кванторов
- •4.2.2.3. Правила заключения
- •4.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •4.2.2.5. Принцип резолюции
- •4.2.2.6. Логическое программирование
- •4.3. Логика реляционная
- •4.3.1 Реляционная алгебра
- •4.3.1.1. Унарные операции
- •4.3.1.2. Бинарные операции
- •4.3.1.3. Правила реляционной алгебры
- •4.3.2. Реляционное исчисление
- •4.3.3. Языки реляционной логики
- •4.4. Нечеткая логика
- •4.4.1. Нечеткое исчисление
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Глава 5. Основы теории алгоритмов
- •5.1. Рекурсивные функции
- •5.1.1. Базовые функции
- •5.1.2. Элементарные операции
- •5.2. Машина Тьюринга
- •5.2.1. Описание машины Тьюринга
- •5.2.2. Примеры машин Тьюринга
- •5.2.3. Композиция машин Тьюринга
- •5.3. Нормальные алгоритмы Маркова
- •5.4 Сложность вычислений
- •Вопросы и задачи
- •Глава 6. Конечные автоматы
- •6.1. Абстрактный автомат
- •6.1.1. Типы конечных автоматов
- •6.1.2. Описание автоматов
- •6.1.3. Автоматное моделирование алгоритмов
- •6.1.3.1. Автомат Мили - модель управляющего автомата
- •6.1.3.2. Автомат Мура - модель управляющего автомата
- •6.1.3.3. Микропрограммный автомат
- •6.1.4. Эквивалентность автоматов
- •6.1.5. Эквивалентность внутренних состояний автомата
- •6.1.5.1. Детерминированный автомат
- •6.1.5.2. Недетерминированный автомат
- •6.2. Структурный автомат
- •6.2.1. Произведение автоматов
- •6.2.1.1. Последовательное соединение автоматов
- •6.2.1.2. Параллельное соединение автоматов
- •Обратная связь автоматов
- •6.2.3. Сумма автоматов
- •6.2.4. Структурный автомат и кодирование
- •6.3. Логическое проектирование автоматов
- •6.3.1. Кодирование алфавитов автомата
- •6.3.2. Автоматы без “памяти”.
- •6.3.2.1. Формирование оператора
- •6.3.2.2. Формирование системы операторов
- •Логическая схема комбинационного автомата
- •6.3.3. Автоматы с “памятью”
- •6.3.3.1. Формирование оператора
- •6.3.3.2. Формирование оператора
- •.3.3.3. Логическая схема автомата с “памятью”
- •Вопросы и задачи
- •Литература
- •Предметный указатель
1.5.7.2. Кнф булевой функции
Любую булеву функцию f(x1; x2;...xn) можно представить в следующем виде:
f(x1; x2;…xn)=&(x1`s1Úx2`s2Ú………Úxm`smÚf(s1;s2;... . sm;xm+1;……;xn)),
где m£n, а конъюнкция берётся по всем m наборам булевых переменных (s1;s2;. . .…;sm).
Пусть m=1, тогда
f(x1; x2;...xn)=(`x1Úf(1;x2;…xn))×(x1Úf(0;x2;...xn)).
Пусть m=2, тогда
f(x1; x2;...xn)=(`x1Ú`x2Úf(1; 1; x3;...xn))×(`x1Úx2Úf(1; 0; x3;...xn))×
(x1Ú`x2Úf(0; 1; x3;...xn))×(x1Úx2Úf(0; 0; x3;...xn)).
Пусть m=n, тогда
f(x1;x2;...xn)=&(x1`s1Úx2`s2Ú. . .…Úxn`snÚ f(s1;s2;…;sn)).
Чтобы дизъюнкция (x1`s1Úx2`s2Ú…Úxn`sn) могла представлять логическую функцию f(x1; x2;...xn) необходимо f(s1; s2;… sn)=0. В противном случае, когда f(s1; s2;…sn)=1, значение f(x1;x2;...xn)=1при любых значениях si .
Итак, разложение в конъюнктивную нормальную форму есть
f(x1; x2;…xn)=&(x1`s1Úx2`s2Ú…. . .Úxn`sn) для f(s1; s2;…sn)=0.
Функцию f(s1;s2;…;sn)=0 называют конституентой нуля. Любую булеву функцию, значение которой равно “0”, представляет конъюнкция элементарных дизъюнкций.
Если элементарные дизъюнкции в разложении имеют одинаковые число и имена булевых переменных, то разложение представляет совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) формулы булевой функции.
Например, F=(x1Úx2Úx3Úx4)×(`x1Ú`x2Úx3Ú`x4)×(x1Ú`x2Ú`x3Ú`x4).
Если логическая функция задана таблицей, то формулу СКНФ можно записать по значениям булевых переменных для булевой функции, имеющей значение “0”.
Например, для функции, заданной таблицей1.26, имеем:
F=(x1Úx2Úx3Ú`x4)× (x1Ú`x2Ú`x3Úx4).
-
таблица 1.26
булевый вектор
булева функция
x1
x2
x3
x4
0
0
0
1
f(0;0;0;1)=0
1
0
1
0
f(1;0;1;0)=1
1
1
0
0
f(1;1;0;0)=1
0
1
1
0
f(0;1;1;0)=0
...
...
...
...
...
Алгоритм преобразования формулы к скнф:
Шаг 1: преобразовать формулу так, чтобы в ней были только операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания;
Шаг 2: преобразовать формулу так, чтобы операция отрицания была применима только к двоичным переменным;
Шаг 3: если в некоторую дизъюнкцию не входит переменная xi, то дополнить её выражение (xi ×`xi) и выполнить преобразование по закону дистрибутивности:
F= x1`s1Úx2`s2Ú……. . . Úxk`skÚ(xi ×`xi)=(x1`s1Úx2`s2Ú. . . …Úxk`skÚxi)× (x1`s1Úx2`s2Ú. . .…Úxk`skÚ`xi);
Шаг 4: если в некоторую дизъюнкцию не входит переменная xj, то повторить шаг 3, иначе конец.
Пример: преобразовать формулу F=(x1Úx2)×(`x1Ú`x2Úx3Úx4) к виду СКНФ.
F=(x1Úx2Úx3×`x3)×(`x1Ú`x2Úx3Úx4);
F=(x1Úx2Úx3)×(x1Úx2Ú`x3)×(`x1Ú`x2Úx3Úx4);
F=(x1Úx2Úx3Úx4×`x4)×(x1Úx2Ú`x3Úx4×`x4)×(`x1Ú`x2Úx3Úx4);
F=(x1Úx2Úx3Úx4)×(x1Úx2Úx3Ú`x4)×(x1Úx2Ú`x3Úx4)×(x1Úx2Ú`x3Ú`x4)× (`x1Ú`x2Úx3Úx4).